专题15 动点中的平行四边形-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（浙教版）

专题15 动点中的平行四边形 【例题讲解】 （2022春·浙江温州·八年级乐清市乐成第一中学校考期中）如图，在中，，，过点A作，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线，射线上的一点，点E是线段上的点，且，设，为y，则．当点Q为中点时，． (1)求，的长度； (2)若，求的长； (3)请问是否存在x的值，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． （1）解：如下图，由题意可知，，即，解得，即， ∴，， ∴，∵点Q为中点，∴； （2）如下图，过点A作于点M，PE交AC于点N， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，又∵，∴四边形AMEP为平行四边形，∴， ∵，由可知，，解得，即， ∴，∴； （3）存在，理由如下：①如下图，当点Q、E在线段BC上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形， 则，∵， ∴， ∴，解得； ②如下图，当点Q、E在线段CB的延长线上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形， 则， ∵， ∴， ∴， 解得．综上所述，当以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形时，或12． 【综合解答】 1．（2019春·浙江宁波·八年级统考期中）如图，平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止）．设运动时间为秒，当为何值时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】秒、秒或秒 【分析】根据平行四边形的性质，可得，结合题意可知PD=BQ，然后分四种情况考虑，根据PD=BQ即可列出关于t的一元一次方程，解方程即可得出结论. 【详解】解：四边形为平行四边形， ． 若要以、、、四点组成的四边形为平行四边形，则． 分四种情况讨论： （1）当时，，，，， ， （不合题意，舍去）； （2）当时，，，， ， 解得：； （3）当时，，，，， ， 解得：； （4）当时，，，， ， 解得：． 综上所述可知，当运动时间为秒、秒或秒时，以、、、四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质以及一元一次方程的实际应用，解题的关键是要分四种情况列出一元一次方程. 2．（2021春·浙江温州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10cm，过点A作AD//BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE=2cm，连结PE，设点P的运动时间为t秒． (1)①AP=_______，CE=________；(用含t的式子表示) ②若PE⊥BC，求BQ的长； (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①t，2t-2；② (2)存在，t=4秒或12秒 【分析】（1）①由运动知AP=t，CQ=2t，即可得出结论；②作AM⊥BC于M，由已知条件得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BM=CM，由直角三角形斜边上的中线性质得出AM=BC=5，证出△APN和△CEN是等腰直角三角形，得出PN=AP=t，CE=NE=5-t，由CE=CQ-QE=2t-2得出方程，解方程即可； （2）分两种情况，由平行四边形的判定得出AP=BE，得出方程，解方程即可． （1） 解：①由运动知，AP=t，CQ=2t， ∵在线段QC上取点E，使得QE=2cm， ∴CE=CQ-EQ=2t-2， 故答案为t，2t-2； ②作AM⊥BC于M，如图所示， ∵∠BAC=90°，∠B=45°， ∴∠C=45°=∠B， ∴AB=AC， ∴BM=CM， ∴AM＝BC＝5cm， ∵ADBC， ∴∠PAC=∠C=45°， ∵PE⊥BC， ∴PE=AM=5，PE⊥AD， ∴△APN和△CEN是等腰直角三角形， ∴PN=AP=t，CE=NE=5-t， ∵CE=CQ-QE=2t-2， ∴5-t=2t-2， ∴t=， ∴BQ=BC-CQ=10-2×=； （2） 存在，t=4或12s；理由如下：当点Q、E在线段BC上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则AP=BE， ∴t=10-2t+2， 解得：t=4， 当点Q、E在线段CB的延长线上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则AP=BE， t=2t-2-10， 解得：t=12， ∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t=4秒或12秒． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 3．（2022春·浙江绍兴·八年级校联考期中）