专题13 平面直角坐标系中的平行四边形-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（浙教版）

专题13 平面直角坐标系中的平行四边形 【例题讲解】实验与探究： (1)在图1，图2，图3中，已知的顶点A，B，D的坐标（如图所示），写出图1，图2，图3中的顶点C的坐标，它们分别是_____________，_____________，_____________； (2)在图4中，给出的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（点C的坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）； (3)通过对图1，图2，图3，图4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论处于平面直角坐标系中哪个位置，当其顶点C的坐标为（如图4）时，四个顶点的横坐标a，c，m，e之间都满足等量关系：_____________，纵坐标b，d，n，f之间都满足等量关系：_____________（不必证明）． (1)解：利用平行四边形的性质：对边平行且相等，得出图1、图2、图3中顶点C的坐标分别是：， (2)解：分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于点F，在平行四边形ABCD中，CD=BA， 又∵BB1CC1，∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180° ∴∠EBA=∠FCD又∵∠BEA=∠CFD=90°，∴△BEA≌△CFD， ∴AE=DF=a-c，BE=CF=d-b，设C(x,y)，由e-x=a-c，得x=e+c-a， 由y−f=d-b，得y=f+d-b，∴C(e+c-a,f+d-b)； (3)解：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a,b)，B(c,d)，C(m,n)，D(e,f)时，由(2)得：m=c+e−a，n=d+f−b或m+a=c+e，n+b=d+f． 故答案为：，． 【综合解答】 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是(，0)， 线段BC 交y轴于点D，点D的坐标是(0，8)，线段CD=6．动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，运动时间为t秒. (1)用t的代数式表示：BQ=_______，AP=_______； (2)若以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值； (3)当恰好是等腰三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2)6或 (3)或 【分析】（1）由平行四边形的性质结合题意可得出，，，从而可求出．分类讨论：当P在A点右侧时、当P与A点重合时和当P在A点左侧时，分别求出AP的长即可； （2）分类讨论：①当P在A点右侧时和②当P在A点左侧时，根据平行四边形的性质即可分别得出关于t的等式，解出t即可； （3）分类讨论：①当BP=PQ时、②当BQ=PQ时，③当BQ=PB时和④当点P在A点左侧时，分别根据等腰三角形的性质，勾股定理，结合题意列出关于t的等式或判断情况是否存在，再解出t即可． （1） ∵四边形ABCO是平行四边形，A(，0)， ∴． ∵CD=6， ∴， ∴， ∵动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动， ∴OP=2t，DQ=t， ∴． 当P在A点右侧时，此时，， 当P与A点重合时，此时，， 当P在A点左侧时，此时，； ∴ 故答案为：； （2） 分类讨论：①当P在A点右侧时，如图， ∵四边形ABQP为平行四边形， ∴BQ=AP， 即， 解得t=6； ②当P在A点左侧时，如图， ∵四边形BQAP为平行四边形， ∴BQ=AP，即， 解得． 综上可知，当以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为6或； （3） 当恰好是等腰三角形时，有以下四种情况： ①当BP=PQ时，如图，过点Q作轴于点E，过点P作于点F， ∴，， ∴． ∵BP=PQ， ∴， ∴， 解得； ②当BQ=PQ时，如图，过点Q作轴于点G． 由①可知， ∵，即， ∴， 解得：t=； ③当BQ=PB时，由②同理可得出， 此时方程无解； ④当点P在A点左侧时，不可能是等腰三角形，此情况舍． 综上可知当恰好是等腰三角形，或． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB． (1)求直线AB的解析式； (2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求P