专题12 证明是平行四边形-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（浙教版）

专题12 证明是平行四边形 【例题讲解】 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F． （1）求证：△AEF≌△BEC； （2）判断四边形BCFD是何特殊四边形，并说出理由； （3）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，若BC=1，求AH的长．       试题解析：（1）证明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°． 在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°． ∵E为AB的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC． （2）在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点， ∴CE=AB，BE=AB．∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°． 又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°．又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°．∴FC∥BD． 又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC．∴四边形BCFD是平行四边形 （3）∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，∴∠CAH=90°． 在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=1，∴AB=2BC=2．∴AD=AB=2． 设AH=x，则HC=HD=AD﹣AH=2﹣x，在Rt△ABC中，AC2=22﹣12=3， 在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3=（2﹣x）2，解得x=，即AH=． 【综合解答】 1．如图，AC 是▱ABCD 的一条对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为 E，F． （1）求证：△ADF≌△CBE； （2）求证：四边形 DFBE 是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，得出内错角相等∠DAF＝∠BCE，证出∠AFD＝∠CEB＝90°，由AAS证明△ADF≌△CBE即可； （2）由（1）得：△ADF≌△CBE，由全等三角形的性质得出DF＝BE，再由BE∥DF，即可得出四边形DFBE是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DAF＝∠BCE， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴BE∥DF，∠AFD＝∠CEB＝90°， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（AAS）； （2）解：如图所示：由（1）得：△ADF≌△CBE， ∴DF＝BE， ∵BE∥DF， ∴四边形DFBE是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 2．如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，ADBC，DFBE，AE=CF． 求证：（1）△AFD≌△CEB； （2）四边形ABCD是平行四边形．        【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理ASA证得△AFD≌△CEB； （2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等得到AD=CB，则由“有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”证得结论． 【详解】证明：（1）如图， ∵ADBC，DFBE，∴∠1=∠2，∠3=∠4． 又AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE． 在△AFD与△CEB中， ， ∴△AFD≌△CEB（ASA）； （2）由（1）知，△AFD≌△CEB，则AD=CB． 又∵ADBC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 3．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB=OD，∠1=∠2，AE=CF． （1）证明：△BEO≌△DFO；     （2）证明：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由条件可利用ASA证得结论； （2）由（1）的结合可得OE=OF，则可求得AE=CF，可求得OA=OC，则可证得四边形ABCD为平行四边形． 【详解】解：（1）证明：∵∠EOB与∠FOD是对顶角， ∴∠EOB=∠FOD， 在△BEO和△DFO中 , ∴△BEO≌△DFO（ASA） （2）证明：由（1）可知△BEO≌△DFO， ∴OE=OF， ∵AE=CF， ∴OA=OC， ∵OB=OD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 4．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）连接AF、BD，求