专题11 利用平行四边形的性质证明和求解最新期中考题选-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（浙教版）

专题11 利用平行四边形的性质证明和求解最新期中考题选 【例题讲解】 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF． (1)求证：；(2)求证：； (3)若，设的面积为，的面积为，求的值．（用含a的代数式来表示） （1）∵F是AD的中点，∴AF=FD，在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD， ∴∠DFC=∠DCF，∵，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD； （2）延长EF，交CD延长线于M， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD， 在△AEF和△DFM中， ，∴△AEF≌△DMF（ASA）， ∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°， ∵FM=EF，∴CF=EF； （3）设AE=x，∵，∴BE=ax，∴AB=AE+BE，∵ABCD， ∴AB=CD=ax+x，，由（2）可得AE=DM=x，EF=FM， ∴CM=ax+2x，∵CE⊥AB，，∴EC⊥CM，∴， 由（2）可得EF=FM，∴， ∵，∴， 【综合解答】 1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点，连接BE，DF． (1)求证：BE＝DF． (2)若BD＝2AB＝8，BC＝6，求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）根据题意得出∆ABO为等腰三角形，AE=EO=OF=CF，BE⊥AC，设AE= EO=OF=CF=x，利用勾股定理求解即可． （1） 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD，ABCD，AO=CO， ∴∠BAC=∠ACD， ∵点E，F分别是AO，CO的中点， ∴AE=CF， ∴∆ABE≌∆CDF， ∴BE=DF； （2） 根据题意得BD＝2AB＝8，BC＝6， ∴BO=AB=4， ∴∆ABO为等腰三角形， ∵点E，F分别是AO，CO的中点， ∴AE=EO=OF=CF，BE⊥AC， 设AE= EO=OF=CF=x，AC=4x ∴在Rt∆ABE中， ， 在Rt∆BEC中， ， ∴， 解得：x=（负值舍去）， ∴AC=． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 2．已知四边形ABCD是平行四边形，BD为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，点P为AB上任意一点，请仅用无刻度的直尺在CD上找出另一点Q，使AP＝CQ； (2)如图②，点P为BD上任意一点，请仅用无刻度的直尺在BD上找出一点Q，使BP＝DQ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接AC交BD于点O，作直线OP交CD于点Q，点Q即为所求作． （2）连接AC，连接AP延长至BC于E，连接EO延长至AD于F，连接CF交BD于点Q即为所求作． （1） 根据平行四边形的性质可得， 如图①，点Q即为所求作． （2） 连接AC，连接AP延长至BC于E，连接EO延长至AD于F，连接CF交BD于点Q， 则如图②，点Q即为所求作． 【点睛】本题考查了作图和平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 3．如图，已知在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，E，F分别在线段OD，OB上，且OE=OF，连结CE，AF (1)求证：CE=AF； (2)若∠DBA=45°，AB=1，求直线AD与BC之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，AO＝CO，又有∠COE＝∠AOF，OE＝OF，可得△CEO≌△AFO，可得CE＝AF； （2）由AC⊥AB，∠DBA＝45°，可得AB＝AO＝1，求出BC＝，再利用等面积法可求得△ABC斜边BC上的高，从而解决此题． （1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO， ∵∠COE＝∠AOF，OE＝OF， ∴△CEO≌△AFO（SAS）， ∴CE＝AF； （2） 解：∵ AC⊥AB， ∴∠CAB=90°， ∵∠DBA=45°， ∴∠AOB=45°， ∴OA=AB=1， ∴ AC=2OA=2， ∴ BC=， 设AD、BC之间的距离为h，则h=． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理的应用，熟练掌握基础知识是解决此题的关键． 4．如图，在中，E，F是对角线AC上的两点，且． (1)求证：； (2)若，，求对角线AC的长． 【答案】(1)见解析； (2)18 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，AB=CD