专题检测(九) 概率、离散型随机变量及其分布列（Word练习）-【优化指导】2023高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

专题检测(九)　概率、离散型随机变量及其分布列 1．(2022·河北唐山一模)甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制．根据以往数据，在决胜局(在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛)中，甲、乙两队获胜的概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4. (1)若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了ξ局比赛，求随机变量ξ的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大； (2)如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？ 解：(1)由题意知：ξ的可能取值为3，4，5. 则P(ξ＝3)＝0.63＋0.43＝0.28， P(ξ＝4)＝C×0.4×0.63＋C×0.6×0.43＝0.374 4， P(ξ＝5)＝C×0.42×0.62＝0.345 6， 则ξ的分布列为 ξ 3 4 5 P 0.28 0.374 4 0.345 6 ∵0.374 4>0.345 6>0.28，∴进行四局比赛的可能性最大． (2)作为甲队领队，希望甲队最终获胜； 若采用五局三胜制，甲队获胜的概率为 P1＝0.63＋C×0.4×0.63＋C×0.42×0.62×0.5＝0.648； 若采用三局两胜制，甲队获胜的概率为 P2＝0.62＋C×0.4×0.6×0.5＝0.6， ∵P1>P2，∴作为甲队领队，希望采用五局三胜制． 2．(2022·山东淄博实验中学模拟)唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已有1 300多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取3件作检验，这3件唐三彩中优质品的件数记为n，如果n＝2，再从这批唐三彩中任取3件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验：如果n＝3，再从这批唐三彩中任取1件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验，其他情况下，这批唐三彩都不能通过检验．假设这批唐三彩的优质品概率为，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为，且各件唐三彩是否为优质品相互独立． (1)求这批唐三彩通过优质品检验的概率； (2)已知每件唐三彩的检验费用为100元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需的总费用记为X元，求X的分布列及数学期望． 解：(1)设第一次取出的3件唐三彩中恰有2件优质品为事件A1， 第一次取出的3件唐三彩全是优质品为事件A2， 第二次取出的3件唐三彩都是优质品为事件B1， 第二次取出的1件唐三彩是优质品为事件B2， 这批唐三彩通过检验为事件A， 依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)， 所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2) ＝C()2××()3＋()3×＝. (2)X可能的取值为300、400、600， P(X＝300)＝C()3＋C()2×＝， P(X＝400)＝()3＝， P(X＝600)＝C()2×＝. 所以X的分布列为 X 300 400 600 P E(X)＝300×＋400×＋600×＝. 3．(2022·湖南株洲一模)M1，M2是治疗同一种疾病的两种新药，某研发公司用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用M1，另2只服用M2，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用M1有效的小白鼠的只数比服用M2有效的多，就称该试验组为优类组．设每只小白鼠服用M1有效的概率为，服用M2有效的概率为. (1)求一个试验组为优类组的概率； (2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中优类组的个数，求ξ的分布列和数学期望． 解：(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用M1有效的小白鼠有i只”，其中i＝0，1，2， Bi表示事件“一个试验组中，服用M2有效的小白鼠有i只”，其中i＝0，1，2， 依题意有： P(A1)＝2××＝， P(A2)＝×＝. P(B0)＝×＝， P(B1)＝2××＝， 则一个试验组为优类组的概率为： P＝P(B0·A1)＋P(B0·A2)＋P(B1·A2) ＝×＋×＋×＝. (2)由题意可知ξ～B(3，)， P(ξ＝0)＝()3＝， P(ξ＝1)＝C××()2＝， P(ξ＝2)＝C×()2×＝， P(ξ＝3)＝()3＝， 则ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P ξ的期望为E(ξ)＝3×＝. 4．(2022·山东淄博一模)某选手参加射击比赛，共有3次机会，满足“假设第k次射中的概率为p.当第k次射中时，第k＋1次也射中的概率仍为p；当第k次未射中时，第k＋1次射中的概率为.”已知该选手第1次射中的概率为. (1)求该选手参加比赛