内容正文:
中篇 重点专题 专项提能
板块一 高考满分专题
专题四 立体几何
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微点培优2 ≡动点问题≡
对于立体几何中的动点问题,常需动中觅静,这里的“静”是指问题中的不变量或者是不变关系,动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性.“静”只是“动”的瞬间,是运动的一种特殊形式,然而抓住“静”的瞬间,使一般情形转化为特殊情形,问题便迎刃而解.
考向一
求动点的轨迹(长度)
如图,三棱柱ABC A1B1C1中,AB=4, AC=3, BC=5, AA1=6, D为CC1的中点,E为BB1上一点,BB1=3 eq \o(BE,\s\up15(→)) ,∠A1AC=60°,M为平面AA1C1C上一点,且BM∥平面ADE,则点M的轨迹的长度为( )
A.1
B. eq \r(2)
C. eq \r(3)
D.2
解析:过B作BF∥ED交CC1于F,过F作FG∥AD交AC于G,如图所示.
∵ED∩AD=D,BF⊄平面ADE,FG⊄平面ADE,
∴BF∥平面ADE,FG∥平面ADE,而BF∩FG=F,BF,FG⊂平面BFG,
∴平面BFG∥平面ADE,而平面BFG∩平面AA1C1C=FG,
综上,知平面AA1C1C上M的轨迹为线段FG.
∵BB1=CC1=3BE=3FD=2CD,
∴CF= eq \f(CD,3) ,则FG= eq \f(AD,3) ,
又∠A1AC=60°,∴∠ACC1=120°,AC=CD=3,
易得AD=3 eq \r(3) ,故FG= eq \r(3) ,即点M的轨迹长度为 eq \r(3) .
(多选)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4,M为DD1的中点,N为ABCD所在平面上一动点,则下列命题正确的是( )
A.若MN与平面ABCD所成的角为 eq \f(π,4) ,则点N的轨迹为圆
B.若MN=4,则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π
C.若点N到直线BB1与直线DC的距离相等,则点N的轨迹为抛物线
D.若D1N与AB所成的角为 eq \f(π,3) ,则点N的轨迹为双曲线
解析:因为MN与平面ABCD所成的角为 eq \f(π,4) ,
即∠MND= eq \f(π,4) ,所以DM=DN=2,
所以点N的轨迹为以D为圆心,2为半径的圆,故A正确;
若MN=4,由于MD⊥DN,MD=2,
所以ND= eq \r(MN2-MD2) =2 eq \r(3) ,
所以点P到DM的中点Q的距离为 eq \f(1,2) ND= eq \r(3) ,
又因为点P到平面ABCD的距离等于DQ=1为定值,
所以点P的轨迹是以Q为圆心, eq \r(3) 为半径的圆,其面积为3π,故B错误;
因为BB1⊥平面ABCD,所以点N到直线BB1的距离为NB,即点N到点B的距离与点N到直线DC的距离相等,又B不在直线DC上,所以点N的轨迹为以B为焦点,直线DC为准线的抛物线,故C正确;
以D为原点,DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),B(4,4,0),D1(0,0,4),
设N(x,y,0),则 eq \o(AB,\s\up15(→)) =(0,4,0),D1N=(x, y, -4),
因为D1N与AB所成