内容正文:
中篇 重点专题 专项提能
板块一 高考满分专题
专题四 立体几何
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第二讲 立体几何(大题)
考点一
空间位置关系与线面角问题
(2022·全国甲卷理)在四棱锥PABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP= eq \r(3) .
(1)证明:BD⊥PA;
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.
(1)证明:如图所示,取AB中点为O,连接DO,CO,
则OB=DC=1.
又DC∥OB,所以四边形DCBO为平行四边形.
又BC=OB=1,
所以四边形DCBO为菱形,所以BD⊥CO.
同理可得,四边形DCOA为菱形,所以AD∥CO,
所以BD⊥AD.
因为PD⊥底面ABCD,BD⊂底面ABCD,所以PD⊥BD,
又AD∩PD=D,AD,PD⊂平面ADP,所以BD⊥平面ADP.
因为PA⊂平面ADP,所以BD⊥PA.
(2)解:由(1)知BD⊥AD,又AB=2AD,所以∠DAO=60°,
所以三角形ADO为正三角形.
过点D作垂直于DC的直线为x轴,DC所在直线为y轴,DP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A( eq \f(\r(3),2) ,- eq \f(1,2) ,0),B( eq \f(\r(3),2) , eq \f(3,2) ,0),P(0,0, eq \r(3) ),D(0,0,0).
则 eq \o(AB,\s\up15(→)) =(0,2,0), eq \o(AP,\s\up15(→)) =(- eq \f(\r(3),2) , eq \f(1,2) , eq \r(3) ), eq \o(DP,\s\up15(