第5讲 解三角形中的最值与取值范围问题-2022-2023学年高一数学同步题型方法总结精品讲义（人教A版2019必修第二册）

学生版 最苦的酒 ———酒入愁肠,化作相思泪。（《苏幕遮∙怀旧》宋·范仲淹） 解三角形专题 第5讲 三角形中最值范围问题 思维导图-----知识梳理 一、求最值范围问题的预备知识： 1、正弦定理：（其中为外接圆的半径） 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。 当关于边，或是角的正弦值具备齐次的特征，则可以直接进行边化角或角化边，否则不行。 2、余弦定理： 3、三角形的面积公式： （1）（为三角形的底，为对应的高） （2）， 4、三角形内角和定理： （1）正余弦关系式：（其余两角也有相同结论） （2）在已知一角的情况下，可用另外一个角表示第三个角，达到消元的目的。 5、两角和与差的正、余弦公式： ; 6、降幂公式： 7、辅助角公式：，其中 8、利用均值不等式求函数的最大值和最小值 二、三角形中的最值范围问题处理方法 法一：利用基本不等式求最值-化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。 法二：转为三角函数求最值-化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。 要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 题型一 已知对边对角型 类型1:求面积的最值 思维导图-----知识梳理 方法一:余弦定理+基本不等式(当且仅当a=b时取=) 方法二:正弦定理→边化角→化同角的三角函数→辅助角公式 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，求的面积的最大值． 例2.在中，内角A，B，C所对的边长分别为. （1）求角C； （2）若，求面积的最大值. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.在中，已知角，，所对的边分别为，，，且，则______；若，则面积的最大值为______． 2.在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，． （1）求角的大小和边长的值； （2）求面积的取值范围． 3.在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 类型2:求周长的取值范围 思维导图-----知识梳理 方法一:余弦定理+配完全平方和+基本不等式(当且仅当a=b时取=)再结合两边之和大于第三边. 方法二:正弦定理→边化角→化同角的三角函数→辅助角公式 例1.(2020·全国Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C． （1）求A； （2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 例2.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，． （1）若，求c的值； （2）求的最大值． 例3.（2022·四川成都·高一期中（文））已知向量，，函数的最小正周期为． (1)求函数的最大值； (2)已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足且，求周长的取值范围． 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.在中，内角，，的对边分别是，，，且满足：. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求的最大值. 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，，.已知. （1）求角的大小. （2）若，求的取值范围. 3.在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB． （1）求角C的大小； （2）若c＝，求△ABC周长的取值范围． 4.（2022·河北·高一期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围． 类型3: 锐角三角形中的面积和周长的取值范围 思维导图-----知识梳理 首选:正弦定理→边化角→化同角的三角函数→辅助角公式 仅求最值可用:余弦定理+配完全平方和+基本不等式 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.已知在中，角，，的对边分别为，，，满足． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 例2.（2015·山东·高考真题（理））设. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.在锐角三角形中，，，分别为角，，的对边，且. （1）求的大小； （2）若，求的周长的取值范围. 2.（2022·江苏·无锡市