第3讲 正、余弦定理的应用举例-2022-2023学年高一数学同步题型方法总结精品讲义（人教A版2019必修第二册）

教师版 最无才的人 ———两句三年得，一吟双泪流。（《题诗后》唐·贾岛） 解三角形专题 第3讲 正、余弦定理的应用举例 思维导图-----知识梳理 实际测量中的有关名称、术语： 知识点1：基线 在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 知识点2：仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 知识点3：方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角的范围是. 知识点4：方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)， 例：(1)北偏东：(2)南偏西： 知识点5：坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即. 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 思维导图-----典型题型讲练 题型一 测量距离问题 思维导图-----知识梳理 当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类： （1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝. （2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. （3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 类型1：两点不相通的距离 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝.若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长． 类型2：两点间可视但有一点不可到达 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例2.如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________ m. 类型3：两点都不可到达 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例3.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离． 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( ) A．50 m B．50 m C．25 m D. m 2.如图，为了测量某湿地，两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点，， ．从点测得，从点测得，，从点测得．现测得千米，千米，则，两点间的距离为（ ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 3.如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽度BC是( ) A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m 4.如图，某山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°，从B处攀登400米后到达D处，再看索道AC，发现张角∠ADC＝150°，从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米．