5.3 分式方程-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学下册同步精讲精练(北师大版)

5.3 分式方程 知识点一 分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫作分式方程． 知识点二 分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程． （2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤： ①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； ②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1； ⑥验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根． 注意：解分式方程一定要验根． 知识点三 分式方程的无解与增根 1．分式方程的增根 （1）产生增根的原因 增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根． （2）分式方程增根的应用 如果说某个含参数的分式方程无解，但是去分母以后的整式方程是有解的，说明那个解应该是增根．只要把增根求出来（也就是令原来的分母为零），代入整式方程就可以解出参数的值． 2．分式方程无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形： （1）原方程去分母后的整式方程无解； （2）原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解． 3．分式方程无解与增根的区别： 分式方程无解时，不一定有增根；分式方程有增根时，不一定无解． 题型一 分式方程的定义 【例题1】（2022秋•巴彦县校级期末）下列关于的方程中，不是分式方程的是　　 A． B． C． D． 解题技巧提炼 本题考查的是分式方程的定义，即分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 【变式1-1】（2021秋•怀集县期末）下列是分式方程的是　　 A． B． C． D． 【变式1-2】（2022秋•青龙县期中）方程、、、中分式方程的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（2022春•方城县期中）给出下列方程：，，，，其中分式方程的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 分式方程的解法 【例题2】（2022秋•乌鲁木齐期末）以下是小明同学解方程的过程： 解：方程两边同时乘，得，第一步 解得第二步 检验：当时，第三步 所以是原方程的解第四步 （1）小明的解法从第步开始出现错误； （2）写出正确的解方程的过程． 解题技巧提炼 本题考查了解分式方程，掌握用转化的思想解分式方程是关键． 【变式2-1】（2022秋•孝昌县校级期末）解下列方程 （1）； （2）． 【变式2-2】（2022秋•甘井子区校级期末）解分式方程： （1）； （2）． 【变式2-3】（2022秋•嘉定区月考）已知关于的方程，如果设，那么原方程化为关于的方程是 　 　． 题型三 分式方程的增根问题 【例题3】（2021秋•平塘县期末）若分式方程有增根，则的值是　　 A．4 B．1 C． D． 解题技巧提炼 本题考查了分式方程的增根，找到增根并将分式方程化为整式方程是解题的关键． 【变式3-1】（2022春•海州区期末）若分式方程有增根，则　 　． 【变式3-2】（2022秋•兰考县期末）使分式方程产生增根，的值为　 　． 【变式3-3】（2022春•滕州市月考）若关于的分式方程有增根，则　　 A． B． C． D． 题型四 分式方程的无解问题 【例题4】（2021秋•新乡期末）若关于的分式方程无解，则实数应满足的条件为　　 A． B． C． D． 解题技巧提炼 本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是解题的关键． 【变式4-1】（2022秋•淄川区期中）若关于的分式方程无解，则的值为　　 A． B．0 C．3 D． 【变式4-2】（2022秋•崇川区校级月考）若关于的方程无解，则的值是 　 　． 【变式4-3】（2022春•东海县期末）若关于的方程无解，则的值为 　 　． 题型五 分式方程的整数解问题 【例题5】（2022秋•路北区校级期末）若关于的方程的解为整数，则整数的值的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解题技巧提炼 此题考查了含有字母参数分式方程问题的求解能力，关键是能准确理解题意并求解． 【变式5-1】（2022秋•重庆期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是　　 A． B． C． D． 【变式5-2】（2022秋•九龙坡区校级月考）若整数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为　　 A．18 B．21 C．22 D．25 【变式5-3】（202