9.3.2 向量坐标表示与运算-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)

9.3.2 向量坐标表示与运算 一、向量的坐标表示 1、在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使， 把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2、向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设、，则，. 3、若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立. 4、特殊向量的坐标：． 【注意】 （1）在直角坐标平面内，以原点为起点的向量，点A的位置被向量a唯一确定， 此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)． （2）平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关； 应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等． （3）由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等， 即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． （4）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． （5）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 二、向量线性运算的坐标表示 1、已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 3、已知，则向量，共线的充要条件是 三、线段的定比分点及 设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：                                   (内分)                         (外分)()                 (外分) () （1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且， 则点坐标为，我们称为点分所成的比. （2）点的位置与的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点； ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点. 四、平面向量数量积的坐标表示 1、数量积坐标表示：若，，则 两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。 2、向量垂直：若两个向量垂直，则 3、用坐标表示的三个重要公式 （1）向量的模公式：若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 （3）向量的交角公式：设两个非零向量，，与的夹角为， 则 题型一 平面向量的坐标表示 【例1】（2021春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）若点的坐标为，点坐标为，则的坐标为______. 【变式1-1】已知，，若，则点的坐标为（ ） A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0） 【变式1-2】（2022春·高一课时练习）设x，y为实数，已知点A（l，2），B（3，2），向量与相等，求x，y的值． 【变式1-3】（2021春·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知向量=，求绕原点按逆时针方向旋转得到的向量_______； 【变式1-4】（2021春·高一课时练习）（多选）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（ ） A． B． C． D． 题型二 平面向量线性运算坐标表示 【例2】（2022春·浙江金华·高一浙江省义乌中学校联考期末）知向量，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022·高一课时练习）已知向量，那么向量的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·高一课时练习）设，，，若，则______． 【变式2-3】（2022春·河南省直辖县级单位·高一统考期末）已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2022春·甘肃武威·高一统考期末）已知、，且，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 题型三 平面向量数量积的坐标表示 【例3】（2022春·北京西城·高一统考期末）设向量，，则（ ） A．-11 B．-9 C．-7 D．-5 【变式3-1】（2023·高一）已知为互相垂直的单位向量，且，，那么______． 【变式3-2】（2022秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知向量、、在正方形网格中的位置，如图所示，则（ ） A． B．