专题08 几何中的面积问题-【聚焦压轴】2023届中考数学压轴大题专项突破

专题08 几何中的面积问题 面积问题是压轴题中常考的问题，不仅在几何压轴题中，在函数压轴题中考查的频率也很高。几何压轴题中的面积问题往往比较抽象，并不是简单几何图形的面积，通常情况下，我们需要对所求的几何图形面积进行转化为我们熟悉的可求的类型。在几何压轴题中的面积考查主要表现为两个方面：一是求某个几何图形的面；二是求变化中的几何图形面积的最值。 一、求某个几何图形面积的类型，常用的方法： 1.添加辅助线：通常包括做出三角形的高，割补法构造三角形等。 2.图形变换的方式对所求图形进行转化，例如通过平移、旋转等变化，把复杂图形转化为三角形等。 3.可以利用三角形全等，对图形进行转化。 4.利用相似三角形的面积之比等于相似比，构建方程进行求解。 二、求变化中的几何图形的面积问题： （1）方程与函数的方法：通常需要设出未知数x，并用x表示出求面积所必需的边长和高，构建方程求出未知数，或构建函数，利用函数的性质求得面积的最值。 （2）几何的方法：一般情况下，在求变化中几何图形的面积的最值时，需要我们找准变化的量，讨论变化的量的临界值，例如：在求变化三角形的面积最值时，如果底边长一定，而底边上的高在不断的变化，我们就要根据高线变化的规律，寻找高的最大值或者最小值的情况，从而求得面积的最小值。 （2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结交于点，平分交于点G． (1)求证：. (2)若． ①求菱形的面积. ②求的值. (3)若，当的大小发生变化时（），在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值． （1）由菱形的性质可证得∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，由平分交于点G，得到∠CBG＝∠EBG＝∠CBE，进一步即可得到答案； （2）①连接AC交BD于点O,Rt△DOC中，OC＝，求得AC＝8，由菱形的面积公式可得答案；②由BGAC，得到，DH＝HG，DG＝2DH，又由DG＝2GE，得到EG＝DH＝HG，则，再证明△CDH∽△AEH，CH＝AC＝，OH＝OC－CH＝4－＝，利用正切的定义得到答案； （3）过点G作GTBC，交AE于点T，△BGE∽△AHE，得AB＝BE＝5，则EG＝GH，再证△DOH∽△DBG，得DH＝GH＝EG，由△EGT∽△EDA得，GT＝，为定值，即可得到ET的值． 【答案】(1)见解析 (2)①24，② (3)＝，理由见解析 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC，ABCD， ∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD， ∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC， ∵平分交于点G， ∴∠CBG＝∠EBG＝∠CBE， ∴∠CBD＋∠CBG＝（∠ABC＋∠CBE）＝×180°＝90°， ∴∠DBG＝90°； （2）解：①如图1，连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形，BD＝6， ∴OD＝BD＝3，AC⊥BD， ∴∠DOC＝90°， 在Rt△DOC中，OC＝， ∴AC＝2OC＝8， ∴， 即菱形的面积是24． ②如图2，连接AC，分别交BD、DE于点O、H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵∠DBG＝90° ∴BG⊥BD， ∴BGAC， ∴， ∴DH＝HG，DG＝2DH， ∵DG＝2GE， ∴EG＝DH＝HG， ∴， ∵ABCD， ∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH， ∴△CDH∽△AEH， ∴， ∴CH＝AC＝， ∴OH＝OC－CH＝4－＝， ∴tan∠BDE＝； （3）如图3，过点G作GTBC交AE于点T，此时ET＝． 理由如下：由题（1）可知，当∠DAB的大小发生变化时，始终有BGAC， ∴△BGE∽△AHE， ∴， ∵AB＝BE＝5， ∴EG＝GH， 同理可得，△DOH∽△DBG， ∴， ∵BO＝DO， ∴DH＝GH＝EG， ∵GTBC， ∴GTAD， ∴△EGT∽△EDA， ∴， ∵AD＝AB＝5， ∴GT＝，为定值， 此时ET＝AE＝（AB＋BE）＝． 此题主要考查了相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （2022·山东东营·统考中考真题）和均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿运动，运动到点B、C停止. (1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段的数量关系是____________，位置关系是____________； (2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)当点D运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明. （1）根据和均为等边