2023年中考数学重难点突破——圆周角定理

2023年中考数学重难点突破——圆周角定理 一、综合题 1．如图，直线 经过 上的点 ，直线 与 交于点 和点 ， 与 交于点 ，与 交于点 ， ， . （1）求证： 是 的切线； （2）若 ， ，求图中阴影部分面积. 2．如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA＝PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D. （1）求证：OD＝ AC； （2）求证：MC是⊙O的切线； （3）若 ，BC＝12，连接PC，求PC的长. 3．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心的圆恰好经过A、B、C三点，⊙O交BD于E，交AD于F，且弧AE=弧CE，连接OA、OF. （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数. 4．如图，在 中，AB=AC=6，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F. （1）若∠BAC=54°，求弧DE的长； （2）若 ，求CD的长. 5．如图，AB为⊙O直径，点C在⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠CAD （1）求证：DC为⊙O的切线； （2）若AB＝4，DB＝1，则CD＝　 　. 6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在OC的延长线上，OD与AB相交于E，cosA＝，∠D＝30°. （1）证明：BD是⊙O的切线； （2）若OD⊥AB，AC＝3，求BD的长. 7．问题提出 （1）如图1，在中，，，P为此三角形内的一点，且，，，将绕点C沿顺时针方向旋转至，则的度数为　 　． （2）问题探究 如图2，在四边形中，，，探究线段、、之间的数量关系井写出解答过程． （3）问题解决 如图3是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知四边形中，，，，平分交于点P，于点E，于点F，按设计要求，四边形内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，若的长为，则阴影部分的面积为　 　． 8．如图，在等腰Rt△ABC中， ，点D是以AB为直径的⊙O上一点，连接BD，CD，BD交AC于点P，且 . （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）求cos∠BPC的值. 9．数学活动课上，老师给出这样一个题目：如图1，点C是弧上的点，于D，于E，若，求证：点C是弧的中点. 小波同学想到的办法是：可通过证明来完成它. （1）请你们帮助小波完成证明过程： （2）解答完老师给出的问题后，小波把老师的题进行了改变. 如图2，已知是的直径，点D，点E分别是半径，的中点，延长交于点F，若于D，且点C是弧的中点，求证：，请你证明. （3）拓展：如图3，在（2）的条件下，点G是弧上一点，连接，，若，，求的半径长. 10．如图，A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）求证：PA+PB＝PC； （2）若BC＝ ，点P是劣弧AB上一动点（异于A、B），PA、PB是关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的两根，求m的最大值． 11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（在的左侧），与轴交于点.D为抛物线的顶点，对称轴与轴的交点为E.已知D的纵坐标为-1. （1）直接写出抛物线的解析式； （2）若P是上的一点，满足，求P的坐标； （3）如图2，点是抛物线上的一点，以为圆心，作与相切的圆交轴于M，两点（M在的左侧）.若，求Q的坐标. 12．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O. （1）若AP＝1，则AE＝　 　； （2）求证：点O一定在△APE的外接圆上； （3）当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长； （4）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值. 13．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），以AB为直径的⊙M与y轴的正半轴交于点C．点P是劣弧BC上的一动点． （1）求sin∠ABC的值． （2）当△PCB中有一边是BP的两倍时，求相应AP的长． （3）如图2，以BC为边向上作等边△CBD，线段MD分别交BC和于点H，N．连结DP，HP．点P在运动过程中，DP与HP存在一定的数量关系． 【探究】当点P与点N重合时，求的值； 【探究二】猜想：当点P与点N不重合时，【探究】的结论是否仍然成立．若成立，给出证明：若不成立，请说明理由． 14．如图，在中，，O为上