2023年中考数学重难点突破——三角形的外接圆与圆心

2023年中考数学重难点突破——三角形的外接圆与圆心 一、综合题 1．阅读下列材料，并完成相应的学习任务： 我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．由于三角形的三条高（或高所在的直线）相交于一点，因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心．下面我们以锐角三角形为例，证明三角形的三条高相交于一点． 如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高，且AD与BE相交于点P．连接CP并延长，交AB于点F． 求证：CF⊥AB． 证明：分别过点A，B，C作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M，N，Q．分别连接PM，PN，PQ． ∵MNBC，MQAB，NQAC， ∴四边形MABC，四边形ANBC，四边形ABQC都是平行四边形． ∴BC=AM=AN，AC=BN=BQ，AB=MC=CQ． ∵AD⊥BC， ∴∠MAD=∠ADB=90°，即AD⊥MN． ∴PM=PN． … 学习任务： （1）请将上面剩余的证明过程补充完整； （2）点P是△MNQ的 ．（填出字母代号即可） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 （3）若∠CAB=40°，则∠MPN=　 　°． 2．如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别是点M、N，且． （1）求证：//； （2）如图，延长交于E点，若，；求的半径长． 3．如图，在 中，E是 上一点，延长 到点F，使 . （1）求证 ； （2）用直尺和圆规在 上作出一点P，使 （保留作图的痕迹，不写作法）. 4．已知：在中，． （1）求作：的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若的外接圆的圆心到边的距离为4，，则△ABC的外接圆的面积为　 　． 5．如图，在平面直角坐标系中，点、、. （1）①以点为位似中心，在网格区域内画出，使得与位似，且点与点对应，位似比为2：1. ②点坐标为 ▲ . ③的面积为 ▲ 个平方单位. （2）的外接圆圆心的坐标为　 　. 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）． （1）在图中利用直尺画出△ABC的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 　 　； （2）求△ABC外接圆的面积； （3）若点E的坐标（6，0），点E在△ABC外接圆　 　（填“圆内”“圆上“或“圆外”） 7．如图，已知抛物线 交x轴于 ， 两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC. （1）求抛物线的表达式； （2）连接OP，BP，若 ，求点P的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 8．八上教材给出了命题“如果 ， ， 分别是 和 的高，那么 ”的证明，由此进一步思考…… （问题提出） （1）在 和 中， ， 分别是 和 的高，如果 ， ， ，那么 和 全等吗？ （i）小红的思考 如图，先任意画出一个 ，然后按下列作法，作出一个满足条件的 ，作法如下： ①作 的外接圆 ②过点 作 ，与 交于点 ③连接 （点 与 重合）， （点 与 重合），得到 请说明小红所作的 . （ii）小明的思考 如图，对于满足条件的 ， 和高 ， ；小明将 通过图形的变换，使边 与 重合， ， 相交于点 ，连接 ，易证 接下来，小明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格. （2）小明解决了问题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明. 如图，在 和 中， ， 分别是 和 的高，（ ），且 ， ，求证： . 9．在等腰梯形ABCD中，DC//AB，AB= 6，，过点A作AH⊥BC，垂足为点H． （1）当点C与点H重合时（如图），求线段BC的长； （2）当点C不与点H重合时，联结AC，作△ACH的外接圆O． ①当点C在BH的延长线上时（如图），设CH=x，CD = y，求y与x的函数解析式，并写出定义域； ②延长CD交圆O于点G，如果△ACH与△ACG全等， 求CD的长 10． （1）问题提出：如图1，在中，点、分别是、的中点，连接、、，与交于点，若，则　 　； （2）问题探究：如图2，在中，，，点是上一点（可与端点重合），连接、，，求面积的最小值； （3）问题解决：某湿地公园拟建一个梯形花园，示意图如图3所示，其中，，.管理员计划在区域种植水生植物，在区域种植甲种花卉.根据设计要求，要满足点在上，，是锐角，且，若种植水生植物每平方米需400元，种植甲种花