2023年中考数学重难点突破——垂径定理

2023年中考数学重难点突破——垂径定理 一、综合题 1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC. （1）求证：∠A＝∠BCD； （2） ，∠B＝60°，求阴影部分的面积. 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB经过点O，CD是弦，且CD⊥AB于点F，连接AD，过点B的直线与线段AD的延长线交于点E，且∠E=∠ACF． （1）若CD=2 ， AF=3，求⊙O的周长； （2）求证：直线BE是⊙O的切线． 3．如图，在等边三角形ABC中． （1）请用尺规作图画出三角形ABC的外接圆⊙O．（保留作图痕迹） （2）若AB＝3求⊙O的半径r． 4．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，BC.OE∥BC交AC于E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点F. （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若∠BAC＝30°，AB＝4，直接写出线段CF的长. 5．如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交⊙O于E，D为BE延长线上一点，且DE＝FE. （1）求证：AD为⊙O切线； （2）若AB＝20，tan∠EBA＝ ，求BC的长. 6．一次函数 的图象与轴的负半轴相交于点 ，与 轴的正半轴相交于点 ，且 ． 的外接圆的圆心 的横坐标为 ． （1）求一次函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积． 7．如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E。求证： （1）DE是⊙O的切线； （2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A＝30°，AB＝8，求弦DG的长。 8．如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是 的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E. （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）求AE的长. 9．如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且，平分，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长； （3）延长，交于点，若，求的半径． 10．如图，四边形ABCD是的内接四边形，AC平分，点B是弧AC的中点. （1）求证：. （2）如下图，连接BO并延长分别交AC，AD于点E和F，交于点G，连接FC. ①试判断四边形ABCF的形状，并说明理由. ②，，求的半径. 11． 如图1， 在中， 为弦的中点， 过点作直径为线段 上一点， 连结并延长交于点， 连结，AE=BF. （1）证明： . （2） 当时， 求. （3） 如图2，连结交于点， 当时， 设， 求关于 的函数解析式，并确定的最大值. 12．如图， 是⊙O的弦， 是直径， 与 交于点 ．若 ， ， （1）如图1，当 于 时 ①若 为 中点，求 的度数； ②求 的长； （2）如图2，分别过点 、 作 的垂线，垂足分别为 、 ，求 的值． 13．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AP BC，BP交AC于Q. （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）连接OC交BQ于点D，若BP⊥AC于Q，CD＝2OD＝2，求AP的长. 14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是 上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC. （1）求证：∠CGF＝∠AGD. （2）已知∠DGF＝120°，AB＝4. ①求CD的长. ②若 ，求△ADG与△AFD的面积之比. 15．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝1，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.设∠B＝α，∠ADC＝β. （1）求∠BOD的度数（用含α，β的代数式表示）； （2）若α＝30°，当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程. （3）若α＝β，连接AO，记△AOD、△AOC、△COB的面积分别为S1，S2，S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OC的长. 16．如图， 是 的直径，弦 垂直半径 ， 为垂足， ＝ ，连接 ， ＝ ，过点 作 ，交 的延长线于点 ． （1）求 的半径； （2）求证： 是 的切线； （3）若弦 与直径 相交于点 ，当 ＝ 时，求图中阴影部分的面积． 17．如图，在 中， ，以 为直径的 交 边于点 ， 为 中点，连接 . （1）求证： 与 相切； （2） 为 的中点，连接 ， ，若 ， ，求劣弧 的长. 18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，垂足为E， ＝ . （1）求证：∠BAC＝2∠CAD； （2）若⊙O的半径为