2023年九年级中考数学高频考点专题训练-- 圆的切线的证明

2023年中考数学高频考点专题训练- 圆的切线的证明 1.四边形ABCD的对角线交于点E,有AE=EC,BE=ED,以AB为直径的半圆过点E,圆心为O. (1)利用图1,求证:四边形ABCD是菱形. (2)如图2,若CD的延长线与半圆相切于点F,已知直径AB=8. ①连结OE,求△OBE的面积. ②求弧AE的长. 2.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,BC的延长线于过点A的直线相交于点E,且∠B=∠EAC. (1)求证:AE是⊙O的切线; (2)过点C作CG⊥AD,垂足为F,与AB交于点G,若AG•AB=36,tanB= ,求DF的值 3.如图,在 中, 是直径,弦 ,垂足为 , 为 上一点, 为弦 延长线上一点,连接 并延长交直径 的延长线于点 ,连接 交 于点 ,若 . (1)求证: 是 的切线; (2)若 的半径为8, ,求 的长. 4.已知 是⊙ 的直径,点 在 的延长线上, , , 是⊙ 上半部分的一个动点,连接 , . (1)如图①, 的最大面积是 ; (2)如图②,延长 交⊙ 于点 ,连接 ,当 时,求证: 是⊙ 的切线. 5.如图,已知四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,DE=EC,以AE为直径的⊙O与CD相切于点D,点B在⊙O上,连接OB. (1)求证:DE=OE; (2)若CD∥AB,求证:BC是⊙O的切线. 6.如图,AB为⊙O直径,C是⊙O上一点,CO⊥AB于点O,弦CD与AB交于点F.过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E,过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G. (1)求证:△EFD为等腰三角形; (2)若OF:OB=1:3,⊙O的半径为3,求AG的长. 7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点O为圆心作⊙O,使⊙O经过点A和点D. (1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)若AC=3,∠B=30°. ①求⊙O的半径; ②设⊙O与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积.(结果保留根号和π) 8.如图,在 中,点E是 的中点,连接 ,以 为直径作 , 交 于点D, 为 的切线. (1)求证: ; (2)若 , ,求 的长. 9.如图,从 外一点 引割线 , 与 相切于点 ,连接 , , . (1)求证: ; (2)已知 , ,求 的长. 10.如图,AB为圆O的直径,C为圆O上一点,D为BC延长线一点,且BC=CD,CE⊥AD于点E. (1)求证:直线EC为圆O的切线; (2)设BE与圆O交于点F,AF的延长线与CE交于点P, ①求证:PC2=PF•PA ②若PC=5,PF=4,求sin∠PEF的值. 11.如图所示,在△ABC中,AB=CB,以BC边为直径的⊙O交AC于点E.点D在BA的延长线上,且∠ACD= ABC. (1)求证:CD是⊙O的切线; (2)若∠ACB=60°,BC=12,连接OE,求劣弧 所对扇形BOE的面积(结果保留π). 12.如图, 与⊙ 相切于点 , 为⊙ 的弦, , 与 相交于点 . (1)求证: ; (2)若 , ,求线段 的长. 13.如图, 是 的直径,弦 ,E是 的中点,连接 并延长到点F,使 ,连接 交 于点D,连接 , . (1)求证:直线 是 的切线; (2)若 长为 ,求 的半径及 的长. 14.如图,在△ABC中,AB=BC,D是AC中点,BE平分∠ABD交AC于点E,点O是AB上一点,⊙O过B、E两点,交BD于点G,交AB于点F. (1)判断直线AC与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)当BD=6,AB=10时,求⊙O的半径. 15.如图,已知:△ABC内接于⊙O,点D在OC的延长线上,sinB= ,∠D=30°. (1)求证:AD是⊙O的切线; (2)若AC=6,求AD的长. 16.如图, 垂直于 的直径 于点O,连接 交 于点C,过点C作 的切线,交 于点E,连接 交 于点F. (1)求证: ; (2)若 的半径为2,当 ,求线段 的长. 答案解析部分 1.【答案】(1)解:∵AE=EC,BE=ED, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AB为直径,且过点E, ∴∠AEB=90°,即AC⊥BD. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴四边形ABCD是菱形. (2)解:①连结OF. ∵CD的延长线与半圆相切于点F, ∴OF⊥CF. ∵FC∥AB, ∴OF即为△ABD中AB边上的高. ∴S△ABD= AB×OF= ×8×4=16, ∵点O是AB中点,点E是BD的中点, ∴S△OBE= S△ABD=4. ②过点D作DH⊥AB于点H. ∵AB∥CD,OF⊥CF, ∴FO⊥AB, ∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°. ∴四边形OHDF为矩形,