1.4.1角平分线课件 2022-2023学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学∙八年级下册 第一章 三角形的证明 教学课件 4. 角平分线 第1课时 教学目标——重点难点 第一章 三角形的证明 1.理解并掌握角的平分线的性质和判定.(重点) 2.综合利用角平分线的性质和判定解决问题.(难点) 教学目标——温故知新 第一章 三角形的证明 知识储备 1.什么叫角的平分线? 从角的顶点出发,把一个角平分成两个相等的角的射线,叫这个角的平分线. 2.角是轴对称图形吗?它有什么性质? 角是轴对称图形,角平分线所在的直线是角的对称轴. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 教学过程——新课引入 第一章 三角形的证明 议一议 我们曾经用折叠的方法探究了角平分线的性质,知道了角平分线上的点到角两边的距离相等.那么你能用逻辑推理的方法来证明角平分线的性质吗? 反过来,到角两边距离相等的点,在角的平分线上吗? 教学过程——新知探究 第一章 三角形的证明 知识点1 角平分线的性质 角平分线性质的证明 下面来证明角平分线的性质. 如图,已知OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E. 求证:PD=PE. 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB, 教学过程——新知探究 第一章 三角形的证明 知识点1 角平分线的性质 角平分线性质的证明 ∴∠PDO=∠PEO=90°, ∵∠DOP=∠EOP,OP=OP, ∴PDO ≌ △PEO(AAS). . ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等). 通过上面的证明,我们得到了角平分线的性质定理 符号语言:如图, ∵PD⊥OA,PE⊥OB,OC平分∠AOB, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角两边的距离相等). 应用定理 知道角平分线的时候,常作的辅助线就是过角分线上一点,作角两边的垂线. 教学过程——新知探究 第一章 三角形的证明 知识点1 角平分线的性质 角平分线性质的证明 定理 角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 教学过程——新知探究 第一章 三角形的证明 知识点2 角平分线的判定 角平分线判定定理的证明 你能写出角平分线的性质定理的逆命题吗?它是真命题是假命题?如果是真命题,你能证明吗? 逆命题:在角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 这个逆命题是真命题吗? 教学过程——新知探究 第一章 三角形的证明 知识点2 角平分线的判定 角平分线判定定理的证明 下面来证明角平分线性质定理的逆命题. 如图,已知点P为∠AOB内一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E,且PD=PE. 求证:OP平分∠AOB. 教学过程——新知探究 第一章 三角形的证明 知识点2 角平分线的判定 角平分线判定定理的证明 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDO=∠PEO=90°, ∵PD=PE,OP=OP, ∴PDO ≌ Rt△PEO(HL). . ∴∠POD=∠POE(全等三角形的对应角相等). ∴ OP平分∠AOB. 教学过程——新知探究 第一章 三角形的证明 知识点2 角平分线的判定 角平分线判定定理的证明 通过上面的证明,我们得到角平分线性质定理的逆命题是真命题 . 定理 在一个角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 应用定理 要证明角的平分线,除了利用角平分线的定义外,可以利用角平分线性质定理的逆定理,证明角的内部的一点到角的两边的距离相等,由此判定过角的顶点和该点的射线是角的平分线,因此这个定理也被称为角平分线的判定定理. 教学过程——新知探究 第一章 三角形的证明 回归课本 读一读 认真阅读课本第22页例题,体会角平分线的判定定理在解题中应用. 教学过程——新知探究 第一章 三角形的证明 做一做 学以致用 1.如图,是用直尺和圆规作已知角∠AOB平分线OP的示意图,仔细观察,根据三角形全等的知识,说明画出OP的依据是( ) A.边角边,全等三角形对应角相等 B.角边角,全等三角形对应角相等 C.边边边,全等三角形对应角相等 D.斜边直角边,全等三角形对应角相等 C 教学过程——新知探究 第一章 三角形的证明 做一做 学以致用 2.如图,在△ ABC中,∠PAQ=∠APQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,则三个结论① AS=AR;② PQ//AR;③ △ BPR≌ △ QSP中( ) A.全部正确 B.仅 ① 和 ② 正确 C.仅 ① 正确 D.仅 ① 和 ③ 正确 A 教学过程——典例精析 第一章 三角形的证明 听一听 例1 已知:如图Rt△ABC中,∠A=30°,BD平分是∠ABC的角平分线. 求证:AD=2CD. 教学过程——典例精析 第一章 三角形的证明 听一听 证明:在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°, ∴∠ABC=60°. ∵BD平分是∠ABC的角平分线, ∴∠ABD=∠CBD=30°. ∴∠ABD=