9.2.3 向量的数量积-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)

9.2.3 向量的数量积 一、向量的数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，， 则（）叫做向量与的夹角． （2）性质：当时，与同向；当时，与反向． （3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作． 2、向量的数量积的定义 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即； 零向量与任一向量的数量积为0； 3、向量在上的投影向量 （1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3）几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积。 3、向量数量积的物理背景 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。 二、平面向量数量积的性质与运算律 1、平面向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 2、平面向量数量积满足的运算律 （1）； （3）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （5）平面向量数量积运算的常用公式 三、求平面向量数量积的方法 （1）定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件； （2）运算律转化法：由可得如下运算公式：；；； （3）利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解。 题型一 向量数量积运算 【例1】（2020春·新疆喀什·高一莎车县第一中学校考阶段练习）若，且和的夹角为，则_______ 【变式1-1】（2022·高一课时练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ） A．12 B．8 C．-8 D．2 【变式1-2】（2022·高一课时练习）已知菱形的边长为a，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022秋·吉林白城·高一校考阶段练习）（多选）设是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ） A． B．不与垂直 C． D． 【变式1-4】（2022秋·黑龙江·高一哈九中校考期中）已知向量，，与的夹角为. （1）求及； （2）求． 【变式1-5】（2022秋·安徽黄山·高一统考期末）已知向量，，满足，，，，，则_________. 题型二 向量的模长问题 【例2】（2022秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）已知，，，则（ ） A． B．2 C． D．4 【变式2-1】（2022秋·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）已知向量满足的夹角为，则的值是_____． 【变式2-2】（2021秋·山东·高一阶段练习）在中，，若D为BC中点，则为_________． 【变式2-3】（2022秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）已知，为单位向量，，则_____． 【变式2-4】（2022秋·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）已知平面向量满足，则的最大值是__. 题型三 向量的夹角问题 【例3】（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第一中学校考阶段练习）已知与的夹角为60°，，，则______． 【变式3-1】（2022·高一课时练习）已知，均为单位向量，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022秋·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型四 向量的垂直问题 【例4】（2022·高一练习）已知平面向量，的夹角为120°，且.若，则______. 【变式4-1】（2022秋·北京·高一景山学校校考期中）已知，则“”是“”的（