5.2.1　三角函数的概念 课件——2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.1 三角函数的概念 ——主讲人：张伟 问题引入 问题： 匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么模型函数刻画呢？ A P O 任务： 建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况 新课学习 如图，以单位圆的圆心O为坐标原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系xOy，点A的坐标（1，0），点P的坐标是（x,y） 点P从点A（1，0）开始在单位圆上运动 A（1，0） P（x,y） O x y 问题1： 这个运动过程中有哪些变量？判断它们之间是否具有函数关系，如果有，能否写出函数解析式？ 点P的横坐标x、纵坐标y，弧长，旋转角 A（1，0） P（x,y） O x y 判断变量：间的哪些变量能否构成函数关系呢？ 根据勾股定理可知+ =1 即 =1 所以的对应关系不符合函数定义 研究：变量和的关系 A（1，0） P（x,y） O x y M 问题2： 若角终边与单位圆交于点P，如何求点P的坐标呢？ 追问1：如何研究一般性问题？ 不妨设=，此时点P在第一象限，过点P作PM⊥x轴于M 在Rt△OMP，可得OM=，PM= 即x=，y= 所以点P的坐标为（ ） A（1，0） P（x,y） O x y 追问2： 当=时，点P的坐标是什么？ A（1，0） P（x,y） O x y 当=，此时点P在第二象限，过点P作PM⊥x轴于M 在Rt△OMP，可得OM=，PM= 即x=-，y= 所以点P的坐标为（-） 追问3：任意给定一个角，点P的坐标唯一确定吗？ A（1，0） P（x,y） O x y 因为单位圆的半径不变，点P的坐标只与角的大小有关 当角时，点P的坐标也唯一确定 追问4： 任意给定一个角，观察角的终边于单位圆的交点P的坐标，有什么发现呢？能否运用函数的语言刻画这种对应关系呢？ A（1，0） P（x,y） O x y 对于任意角，它的终边于单位圆的交点P的横、纵坐标x,y都是唯一确定的。这里有两个对应关系： ：实数（弧度）对应于点P的纵坐标y ① ：实数（弧度）对应于点P的横坐标x ② 任意给定一个角R，它的终边OP于单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x，还是纵坐标y，都是唯一确定的。所以，点P的横坐标x，纵坐标y都是角函数 x y A（1，0） P（x,y） O 三角函数的概念 如图，设一个任意角，它的终边OP于单位圆相交于点P（x,y），那么： 把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作即y= ； 把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作即x= ； 把点P的纵坐标与横坐标的比值的正切函数，记作，即= （x≠0） x y A（1，0） P（x,y） O 问题3： 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？ 实数（弧度）对应于点P的纵坐标y——正弦函数 实数（弧度）对应于点P的横坐标x——余弦函数 x y A（1，0） P（x,y） O 当点P的横坐标为0时，角的终边在y轴上，这是=，所以= 无意义，初次之外，对于确定的角， 的值也是唯一确定的 实数（弧度）对应于点P的纵坐标y于横坐标x（x≠0）之比——正切函数 x y A（1，0） P（x,y） O 追问1： 任意角三角函数的定义是否符合高中函数的定义呢？ 正弦函数、余弦函数、正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。由于角的集合于实数集之间可以建立一一对应关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数。 x y A（1，0） P（x,y） O 按照函数的定义与常用的符号，通常它们记作为： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数： 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 x y A（1，0） P（x,y） O 追问2： 任意角三角函数的定义域分别是什么呢？ 正弦函数的定义域是实数集, 即; 余弦函数的定义域是实数集, 即 正切函数的定义域为{ } x y A（1，0） P（x,y） O 追问3：这个定义与锐角三角函数的定义有什么不同呢？ 任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边为1，所以锐角三角函数也可以用角的终边与单位圆交点的坐标定义。此时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意角的三角函数值也可以是负数