2023年中考数学专项训练——切线的运用

2023年中考数学专项训练——切线的运用 一、综合题 1．如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE. （1）求证：AE是半圆O的切线； （2）若PA＝2，PC＝4，求AE的长. 2．如图，AB是 的直径，点C、点D在 上， ，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且 . （1）求证：AF是 的切线； （2）若 ， ，求 的半径. 3．如图，AB是的直径，AC是弦，于点D，过点A作的切线AP，与OD的延长线交于点P，连接CP，与AB的延长线交于点E． （1）求证：PC是的切线； （2）求证：． 4．如图，AB是☉O的直径，延长BA至点P，过点P作☉O的切线PC，切点为C，过点B向PC的延长线作垂线BE，交该延长线于点E，BE交☉O于点D，已知PA=1，PC=OC． （1）求BE的长； （2）连接DO，延长DO交☉O于F，连接PF， ①求DE的长； ②求证：PF是☉O的切线. 5．如图，已知△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AB与⊙O相切于点D． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若∠B=33°，⊙O的半径为1，求BD的长．（结果精确到0.01） 6．如图，的半径为3，与相切于点B，交于点C，的延长线交于点D，E是上不与B，D重合的点，． （1）求的度数； （2）求图中阴影部分的面积． （3）在的延长线上取点F，使，作直线，判断直线与有怎样的位置关系，并说明理由． 7．如图，在 中， ，点 在 边上， 为 的半径， 是 的切线，切点为点 ， ， ． （1）求证： 是 的切线； （2）求阴影部分的面积． 8．如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部． （1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹） （2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长． 9．如图，已知 是 的直径，点 是 上异于 ， 的点，点 是 的中点，连接 ， ， ，过点 作 交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ， 的平分线 交 于点 ，交 于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）求 的值； （3）若 ， ，求 的直径． 　 10．如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D，连结AD． （1）求证：AD∥OC． （2）小聪与小明在做这个题目的时候，对∠CDA与∠AOC之间的关系进行了探究： 小聪说，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值； 小明说，∠CDA+∠AOC的值随∠A度数的变化而变化。 若∠CDA+∠AOC的值为y，∠A度数为x．你认为他们之中谁说的是正确的?若你认为小聪说的正确，请你求出这个固定值：若你认为小明说的正确，请你求出y与x之间的关系． 11．已知： 是⊙ 的直径， 切于⊙ 点 ， 交⊙ 于点 ， 是⊙ 上一点，连接 、 . （1）如图1，求证： ； （2）如图2，点 在 上，∠CGB=∠DAB， 于点 ，求证： . （3）如图3，在（2）的条件下，连接 并延长交⊙ 于点 ，若 为⊙ 直径，当 ， 时，求线段 的长. 12．如图，已知 的直径 ，弦 ， 的平分线交 于点D，过点D作 ，交 的延长线于点E. （1）求证： 是 的切线； （2）求 的长. 13．如图，在 中， ， 的垂直平分线分别与 ， 及 的延长线相交于点D，E，F，且 ． 是 的外接圆， 的平分线交 于点G，交 于点H，连接 、 ． （1）求证： ； （2）试判断 与 的位置关系，并说明理由； （3）若 ，求 的值． 14．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（ ， ），…，都是梦之点，显然梦之点有无数个． （1）若点 P（2，b）是反比例函数 (n为常数，n≠0)的图象上的梦之点，求这个反比例函数解析式； （2）⊙O的半径是 ， ①求出⊙O上的所有梦之点的坐标； ②已知点M（m，3），点Q是（1）中反比例函数 图象上异于点P的梦之点，过点Q的直线l与y轴交于点A，∠OAQ＝45°．若在⊙O上存在一点N，使得直线MN∥l或MN⊥l，