2023年中考数学专项突破——圆内接四边形的性质

2023年中考数学专项突破——圆内接四边形的性质 一、综合题 1．四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD=CD。 （1）如图1，求证∠ABC=2∠ACD； （2）过点D作⊙O的切线，交BC延长线于点P(如图2)。若tan∠CAB= ，BC=1，求PD的长。 2．如图，四边形ABCD内接于，的延长线于点E，连结AC，BD，AB平分. （1）求证：AC＝AD. （2）当B为弧AC的中点，BC＝3BE，AD＝6时，求CD的长. 3．如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC. （1）若∠B=40°，求∠A的度数； （2）证明：CD=DE； （3）若AD=4，求CE的长度. 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O， BD为直径，AC平分∠BCD， （1）若BC=5cm，CD=12cm，求AB的长； （2）求证：BC+CD=AC． 5．下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程． 已知：⊙O 求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD的夹角为60°． 作法：如图 ①作⊙O的直径AC； ②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B； ③连接BO并延长交⊙O于点D； 所以四边形ABCD就是所求作的矩形． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵点A，C都在⊙O上， ∴OA＝OC 同理OB＝OD ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°（　　）（填推理的依据） ∴四边形ABCD是矩形 ∵AB＝ ▲ ＝BO， ∴四边形ABCD四所求作的矩形． 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠E=40°，∠F=50°，连接BD. （1）求∠A的度数； （2）当⊙O的半径等于2时，请直接写出弧BD的长（结果保留π） 7．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE． 求证： （1） AB＝AF； （2） A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）． 8．如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，连接 ， 是以 为斜边的直角三角形，且满足 ， （1）求证： 为 的切线； （2）求证： ； （3）若 ，求 的长 9．定义：若两个不全等三角形中，有两组边对应相等且其中一组相等的边所对的角也相等，我们就称这两个三角形为偏等三角形. （1）如图1，四边形内接于，，点C是弧的中点，连接，试说明与是偏等三角形. （2）如图2，与是偏等三角形，，，，，求的长. （3）如图3，内接于，，，，若点D在上，且与是偏等三角形，，求的值. 10．如图，在△ABC的外接圆⊙O中，OB⊥AC交AC于点E.延长BE至点D，使得BE＝DE，连接AD，CD，其中CD与⊙O相交于点F，连接AF交BD于点G. （1）求证：四边形ABCD是菱形. （2）求证：AD＝AF. （3）若DG＝DF，求的值. 11．已知：四边形ABCD内接于 O，对角线AC平分∠BAD. （1）如图1，求证：BC=CD; （2）如图1，若AD+AB= AC，四边形ABCD的面积为8，求AC的值； （3）如图2，连接BD，把△ABD沿着BD翻折得到△FBD，延长CF、AD交于点G, 若CG//BD, AD=2，求CG的长． 12．有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线. （1）【理解运用】 如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC.若AC＝AB，求sin∠CAD的值； （2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形.证明你的结论； （3）【拓展提升】 在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC.设 ＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式. 13．如图1，直线l与圆O相交于A，B两点，AC是圆O的直径，D是圆上一点．DE⊥l于点E，连接AD，且AD平分∠CAE． （1）求证：DE是圆O的切线． （2）若DE＝3，AE＝ ，求圆O的半径． （3）如图2，在（2）的条件下，点P是弧AB上一点，连接PC，PD，PB，问：线段PC、PD、PB之间存在什么数量关系？请说明理由