考点全攻略 第4单元 小专题2 与角平分线有关的辅助线作法（讲义课件PPT）-【星城中考】2023中考数学（长沙专用）

小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 2023长沙数学 ◎方法一　过角平分线上的点向两边作垂线 方法解读 ①若已知OP为∠MON的平分线，PA⊥OM，PB⊥ON，由角平分线上的点到角两边的距离相等，得PB＝PA，Rt△POA≌Rt△POB； ②若只有角平分线，可以向角的两边作垂线，构造边的垂线，得到两个全等的直角三角形. 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 1.（2022·鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C.若EC＝2，则OD的长为（　C　） A.2 B.2 C.4 D.4＋2 第1题图 C 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 2.（2022·北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝ 　1　⁠.  第2题图 1　 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，则CD＝ 　3　⁠.  3　 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 ◎方法二　截取构造对称全等三角形 方法解读 若P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA，连接PB，则△OPB≌△OPA.利用图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行等量代换是一种常用的技巧. 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 4.如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，若AC＝5，BD＋BC＝18，求AB的长. 解：在BC上截取CE＝AC，连接DE. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD＝∠ECD. 在△ACD和△中， 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 ∴△ACD≌△ECD（SAS）. ∴AD＝ED，∠A＝∠CED. ∵∠A＝2∠B，∴∠CED＝2∠B. ∴∠EDB＝∠B.∴AD＝ED＝EB. ∴BC＝CE＋EB＝AC＋AD. ∵AC＝5，BD＋BC＝18， ∴AB＝BD＋AD＝BD＋BC－AC＝18－5＝13. 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 ◎方法三　构造等腰三角形 类型一　“角平分线”＋“垂线”⇒等腰三角形 方法解读 若P是∠MON的平分线上的一点，AP⊥OP于点P，延长AP交ON于点B，则△AOB为等腰三角形.构造此模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系起来了，可以利用等腰三角形“三线合一”的性质，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等. 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 5.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于点P，连接PC，若△ABC的面积为16 cm2，则△PBC的面积为（　B　） A.4 cm2 B.8 cm2 C.12 cm2 D.不能确定 B 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点B的直线BE交直线AC于点D，CE⊥BE于点E，且BE平分∠ABC，求证：BD＝2CE. 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 证明：延长CE，BA交于点F. ∵CE⊥BE于点E，BE平分∠ABC， ∴∠BEF＝∠BEC＝90°，∠CBE＝∠FBE. 在△CBE和△FBE中， ∴△CBE≌△FBE（ASA）. ∴CE＝EF. 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 ∴CF＝2CE. ∵∠BAC＝∠BEC＝90°，∠ADB＝∠CDE， ∴∠ABD＝∠ACF. 在△ABD和△ACF中， ∴△ABD≌△ACF（ASA）. ∴BD＝CF. ∴BD＝2CE. 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 类型二　“角平分线”＋“平行线”⇒等腰三角形 方法解读 ①若点P是∠MON平分线OP上一点，且PQ∥ON，可以构造等腰△OPQ，利用等腰三角形的性质解题； 　　②有角平分线无平行就构造平行，同样可以得到等腰△OPQ.可简记为“角平分线＋平行线，等腰必呈现”. 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 7.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则MN＝ 　9