9.2.1 向量的加减法-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)

9.2.1 向量的加减法 一、向量的加法运算 1、定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2、三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 3、平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝. 【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； （2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 4、向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 二、向量的减法 1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. （1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； （2）－(－a)＝a； （3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； （4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． 2、向量的减法 （1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． 题型一 向量的加法法则及应用 【例1】（2022秋·高一）已知用向量加法的三角形法则作出. （1）； （2）. 【变式1-1】（2022·高一）如图，请在图中直接标出： （1）＋． （2）＋＋＋． 【变式1-2】（2022·高一课时练习）（多选）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022秋·高一课时练习）如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量： （1）； （2） （3）． 题型二 向量的减法法则及应用 【例2】（2022·高一课时练习）如图，已知向量，，求作向量． 【变式2-1】（2022·高一）在中，分别是的中点，则_________. 【变式2-2】（2022秋·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）（多选）如图，D，E，F分别是的边AB，BC，CA的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022·高一课前预习）化简下列式子： （1）； （2）； 题型三 向量加减法运算化简 【例3】（2022秋·重庆江北·高一校考阶段练习）化简： （  ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2022·高一课时练习）化简 （1）； （2） . 【变式3-2】（2022·高一课时练习）化简： （1）； （2）. 【变式3-3】（2022·全国·高一专题练习）化简下列各式： ①；②；③；④. 其中结果为的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四 利用向量加减法证明等式 【例4】（2021·高一课时练习）如图，已知点、、分别是三边、、的中点，求证：. 【变式4-1】（2022·高一课时练习）如图，已知D，E，F分别为的三边，，的中点，求证：． 【变式4-2】（2022·高一课时练习）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点. 求证：＋＋＋＝4. 【变式4-3】（2021·高一课时练习）已知、、分别是的边、、的中点，是平面内任意一点．求证：． 题型五 向量加减法在几何中的应用 【例5】（2022秋·广东梅州·高一梅州市梅江区嘉应中学校考阶段练习）如图所示，在四边形中，＝，则四边形为（ ） A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．菱形 【变式5-1】（2022秋·高一课时练习）在中，若，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式5-2】（2022·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，，则必有（ ） A．四边形ABCD是矩形 B．＝或＝ C．＝ D．四边形A