9.1 向量的概念-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)

9.1 向量的概念 一、向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 2、数量：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量． 【注意】 （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移； （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素； （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 二、向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等. （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 【注意】 （1）用字母表示向量便于向量运算； （2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 三、向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 【注意】（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量. 【注意】（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量. 【注意】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 四、向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：与任一向量共线. 【注意】 1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 题型一 平面向量的基本概念 【例1】（2022秋·广东珠海·高一校考期中）给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间． 其中不是向量的有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-1】（2022·高一课时练习）下列说法错误的是（ ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动 【变式1-2】（2022·全国·高一专题练习）下列命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-3】（2022秋·湖北鄂州·高一校联考期中）下列关于零向量的说法正确的是（ ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 【变式1-4】（2022·高一课时练习）有下列结论： ①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则，不是共线向量； ③若，则四边形是平行四边形； ④若，，则； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二 平面向量的几何表示 【例2】如图，以方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？ 【变式2-1】在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量． （1），点A在点O北偏西45°方向； （2），点B在点O正南方向． 【变式2-2】（2022·高一课时练习）某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和． 【变式2-3】（2022·高一课时练习）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（ ） A．向量的模相等 B． C．向量共线 D． 题型三 相等向量与共线向量 【例3】（2022秋·江西南昌·高一南昌县莲塘第一中学校考期中）下列结论中正确的为（ ） A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．对任意向量，是一个单位