内容正文:
中篇 重点专题 专项提能
板块一 高考满分专题
专题五 选考部分
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第二讲 不等式选讲
本讲内容为高考选考必考内容之一,考题难度中低档,以解答题形式出现在试卷的第23题位置.高考对本讲的考查主要有以下两个方面:
(1)绝对值不等式的求解与函数问题的综合,这是高考命题的热点;
(2)绝对值不等式中的恒成立问题与不等式的证明相结合.
考点一
绝对值不等式的解法
(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.
解:(1)由题设知f(x)= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-x-3,x≤-\f(1,3),,5x-1,-\f(1,3)<x≤1,,x+3,x>1.))
画出y=f(x)的图象如图(1)所示.
(2)函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图象,如图(2)所示.
易得y=f(x)的图象与y=f(x+1)的图象的交点坐标为(- eq \f(7,6) ,- eq \f(11,6) ).
由图象可知,当且仅当x<- eq \f(7,6) 时,y=f(x)的图象在y=f(x+1)的图象上方.
故不等式f(x)>f(x+1)的解集为(-∞,- eq \f(7,6) ).
绝对值不等式的常用解法
(1)基本性质法:对a>0,|x|<a⇔-a<x<a,|x|>a⇔x<-a或x>A.
(2)平方法:两边平方去掉绝对值符号.
(3)零点分区间法:含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.
(4)几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解.
(5)数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解.
已知函数f(x)=|2x+3|.
(1)解不等式f(x)+f(x-3)≤8;
(2)已知关于x的不等式f(x)+|x+a|≤x+5,在x∈[-1,1]上有解,求实数a的取值范围.
解:(1)f(x)+f(x-3)=|2x+3|+|2x-3|,
当x≤- eq \f(3,2) 时,-2x-3+3-2x=-4x≤8,解得x≥-2,
∴-2≤x≤- eq \f(3,2) ;
当- eq \f(3,2) <x< eq \f(3,2) 时,2x+3+3-2x=6<8,
∴- eq \f(3,2) <x< eq \f(3,2) ;
当x≥ eq \f(3,2) 时,2x+3+2x-3=4x≤8,解得x≤2,∴ eq \f(3,2) ≤x≤2;
综上所述:f(x)+f(x-3)≤8的解集为[-2,2].
(2)当x∈[-1,1]时,f(x)=2x+3,
则f(x)+|x+a|≤x+5可化为|x+a|≤-x+2,
即x-2≤x+a≤2-x,
∴-2≤a≤2-2