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专题二 三角函数
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第一讲 三角函数的图象和性质(小题)
考点一
三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系
1.设P(x,y)是角α终边上异于原点的任一点,它到原点的距离为r(r>0),那么:sin α= eq \f(y,r) ,cos α= eq \f(x,r) ,tan α= eq \f(y,x) (x≠0).
2.(1)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R).
(2)商数关系:tanα= eq \f(sin α,cos α)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ+\f(π,2),k∈Z)) .
3.诱导公式的记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.
1.(2022·山东济南二模)如果角α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),则sin α的值等于( )
A. eq \f(1,2)
B.- eq \f(1,2)
C.- eq \f(\r(3),2)
D.- eq \f(\r(3),3)
解析:由题意得P(1,- eq \r(3) ),
它与原点的距离r= eq \r(1+(\r(3))2) =2,
所以sin α= eq \f(y,r) = eq \f(-\r(3),2) =- eq \f(\r(3),2) .
2.(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ=-2,则 eq \f(sin θ(1+sin 2θ),sin θ+cos θ) =( )
A.- eq \f(6,5)
B.- eq \f(2,5)
C. eq \f(2,5)
D. eq \f(6,5)
解析:原式= eq \f(sin θ(sin2θ+2sinθcos θ+cos2θ),sinθ+cos θ)
= eq \f(sin θ(sin θ+cos θ)2,sin θ+cos θ) =sin2θ+sinθcos θ
= eq \f(sin2θ+sinθcos θ,sin2θ+cos2θ) = eq \f(tan2θ+tanθ,tan2θ+1) = eq \f(4-2,4+1) = eq \f(2,5) .
3.(2021·全国甲卷)若α∈(0, eq \f(π,2) ),tan2α= eq \f(cos α,2-sin α) ,则tan α=( )
A. eq \f(\r(15),15)
B. eq \f(\r(5),5)
C. eq \f(\r(5),3)
D. eq \f(\r(15),3)
解析:因为tan 2α= eq \f(cos α,2-s