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第二讲 数 列(大题)
考点一
等差、等比数列的证明
判定和证明数列是等差(比)数列的方法
(1)定义法:对于n≥1的任意自然数,验证an+1-an(或 eq \f(an+1,an) )为与正整数n无关的某一常数.
(2)中项公式法:
①若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等差数列;
②若a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)) =an-1·an+1≠0(n∈N*,n≥2),则{an}为等比数列.
(2022·全国甲卷理)设Sn为数列{an}的前n项和.已知 eq \f(2Sn,n) +n=2an+1.
(1)证明:{an}是等差数列;
(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.
(1)证明:由 eq \f(2Sn,n) +n=2an+1,得2Sn+n2=2ann+n,①
所以2Sn+1+(n+1)2=2an+1(n+1)+(n+1),②
②-①得,2an+1+2n+1=2an+1(n+1)-2ann+1,
化简得an+1-an=1,
所以数列{an}是公差为1的等差数列.
(2)解:由(1)知数列{an}的公差为1.
由a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)) =a4a9,得(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),
解得a1=-12.
所以Sn=-12n+ eq \f(n(n-1),2) = eq \f(n2-25n,2) = eq \f(1,2)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n-\f(25,2)))
eq \s\up12(2) - eq \f(625,8) ,
所以当n=12或n=13时,Sn取得最小值,最小值为-78.
判断数列是否为等差数列或等比数列的策略
(1)将所给的关系式进行变形、转化,以便利用等差、等比数列的定义进行判断.
(2