2023年中考数学专项突破——圆周角定理

2023年中考数学专项突破——圆周角定理 一、综合题 1．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O，交AB边于点D，D为AB的中点，DE⊥AC于点E. （1）求证：AC=BC. （2）求证：DE是⊙O的切线. 2．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD， （1）求证：CD2＝CE•AC； （2）若AB＝4，AC＝4 ，求AE的长． 3．如图，直线 与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥ 交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线 于B、C两点； （1）求证：∠ABC+∠ACB=90°； （2）若⊙O的半径 ，BD=12，求tan∠ACB的值. 4．如图，已知⊙O的直径AB＝4，点C、D分别为⊙O上的两点，，过点D作DE⊥AB于点E，⊙O的切线DF与直线AF交于点F，且AF过点C，连接BD、AD. （1）求证：CF＝BE； （2）填空： ①当AD＝　 　时，四边形AODC是菱形； ②当AD＝　 　时，四边形AEDF是正方形. 5．如图，以Rt△ABC斜边AB中点O为圆心，OA为半径做圆，点F是圆外一点，连接AF，有AF＝AC，连接CF交⊙O于点D，连接AD，有AD＝FD. （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）求证：△AED是等腰三角形； （3）若AF＝6，FD＝4，求∠BAC的正切值. 6．已知在圆O中，弦AB垂直弦CD于点E （1）如图1：若CE=BE，求证：AB=CD； （2）如图2：若AB=8，CD=6，OE= ①求圆的半径， ②求弓形CBD的面积。 7．如图，内接于，是的直径，，，是上的点，，连接分别交，于点，. （1）求证：. （2）若，，求的长. 8．观察发现：如图（1），⊙O是△ADC的外接圆，点B是边CD上的一点，且△ABC是等边三角形.OD与AB交于点E，以O为圆心、OE为半径的圆交AB于点F，连接CF、OF. （1）求∠AOD的度数； （2）线段AE、CF有何大小关系？证明你的猜想. 拓展应用：如图（2），△HJI是等边三角形，点K是IH延长线上的一点.点O是△JKI的外接圆圆心，OK与JH相交于点E.如果等边三角形△JHI的边长为2，请直接写出JE的最小值和此时∠JEO的度数. 9．如图1， 是 的直径，弦 于G，过C点的切线与射线 相交于点E，直线 与 交于点H， ， . （1）求 的半径； （2）将射线 绕D点逆时针旋转，得射线 （如图2）， 与 交于点M，与 及切线 分别相交于点N，F，当 时，求切线 的长. 10．我们认为，顺次连接公共斜边的两个直角三角形的四个顶点所得的四边形叫做“规正四边形”.如图 ， 和 都是直角三角形，且 ，则四边形 是规正四边形.在 中，高线 和 相交于点 . （1）连接 ，如图 . ①写出图中所有的规正四边形有 ； ②求证： ； （2）连接 并延长交 于点 ，如图 .求证：四边形 是规正四边形. 11．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆” ， 的连接点 在 上，当点 在 上转动时，带动点 ， 分别在射线 ， 上滑动， .当 与 相切时，点 恰好落在 上，如图2. 请仅就图2的情形解答下列问题. （1）求证： ； （2）若 的半径为 ， ，求 的长. 12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，BD， （1）求证：∠ADC＝∠ABD． （2）作OF⊥AD于点F，若⊙O的半径为5，OE＝3，求OF的长． 13．如图，AB是半圆O的直径，且AB＝10.点C是半圈O上一点，连接AC，BC，作OF⊥AC，垂足为F.过点C作半圆O的切线交AB的延长线于D，交 OF的延长线于E，连接AE. （1）求证∶AE是半圆O的切线； （2）①连接OC，当AC＝CD 时，△OBC 的形状是　 　； ②若BC＝6，则线段CD＝　 　 14．在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图（1），在菱形中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点. （1）【观察发现】与的位置关系是　 　； （2）【思考表达】连接，判断与是否相等，并说明理由； （