2023年中考数学专项突破——三角形的外接圆与圆心

2023年中考数学专项突破——三角形的外接圆与圆心 一、综合题 1．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点C的坐标为（0，﹣1）. （1）在如图的方格纸中把△ABC以点O为位似中心扩大，使放大前后的位似比为1：2，画出△A1B1C1（△ABC与△A1B1C1在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1）. （2）利用方格纸标出△A1B1C1外接圆的圆心P，P点坐标是　 　，⊙P的半径=　 　.（保留根号） 2．若过三角形一边中点画一直线与另一边相交(交点不为中点)，截原三角形所得三角形与原三角形相似，则称中点与交点确定的线段为这条相交边的“中似线段”，把中似线段的两端点与相交边的中点构成的三角形称为“中似三角形”。 （1）如图1，在△ABC中，AB=8，AC=7，BC=6，D为AB中点，DF为AC边的中似线段，△DEF为中似三角形”，直接写出DF=　 　，△DEF的周长= 　 　。 （2）如图2，在△ABC中，D为AB中点，AC边的中似线段DF恰好经过点C，△DEC为中似三角形 ①当AB=8时，求AC的长 ②求 的值 （3）如图3，在△ACB中，∠CRt∠，BC=4a，D为AB中点，DF为AC边上的中似线段，中似△DEF的外接圆⊙O与BC边相切，求⊙O的半径(用含a的代数式表示) 3．如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D为AC延长线上一点,连接BD,AE⊥BD于点E. （1）记△ABC得外接圆为⊙0, ①请用文字描述圆心0的位置; ②求证:点E一定在⊙0上. （2）将射线AE绕点A顺时针旋转45°后,所得到的射线与BD延长线交于点F,连接CF,CE. ①依题意补全图形; ②用等式表示线段AF,CE,BE的数量关系,并证明. 4．定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称为对半线. （1）如图1，在对半四边形ABCD中，∠A+∠B=（∠C+∠D），求∠A与∠B的度数之和； （2）如图2，O为锐角△ABC的外心，过点O的直线交AC，BC于点D，E，∠OAB=30°，求证：四边形ABED是对半四边形； （3）如图3，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上一点，CD=CE=3，CE=3EB，F为DE的中点，∠AFB=120°，当AB为对半四边形ABED的对半线时，求AC的长. 5．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C. （1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹； （2）若 是等腰三角形，设底边 ，腰 ，求圆片的半径R. 6．八上教材给出了命题“如果 ， ， 分别是 和 的高，那么 ”的证明，由此进一步思考…… （问题提出） （1）在 和 中， ， 分别是 和 的高，如果 ， ， ，那么 和 全等吗？ （i）小红的思考 如图，先任意画出一个 ，然后按下列作法，作出一个满足条件的 ，作法如下： ①作 的外接圆 ②过点 作 ，与 交于点 ③连接 （点 与 重合）， （点 与 重合），得到 请说明小红所作的 . （ii）小明的思考 如图，对于满足条件的 ， 和高 ， ；小明将 通过图形的变换，使边 与 重合， ， 相交于点 ，连接 ，易证 接下来，小明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格. （2）小明解决了问题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明. 如图，在 和 中， ， 分别是 和 的高，（ ），且 ， ，求证： . 7．等边△ABC与正方形DEFG如图1放置，其中D，E两点分别在AB，BC上，且BD＝BE． （1）求∠DEB的度数； （2）当正方形DEFG沿着射线BC方向以每秒1个单位长度的速度平移时，CF的长度y随着运动时间变化的函数图象如图2所示，且当t=时，y有最小值1； ①求等边△ABC的边长； ②连结CD，在平移的过程中，求当△CEF与△CDE同时为等腰三角形时t的值； ③从平移运动开始，到GF恰落在AC边上时，请直接写出△CEF外接圆圆心的运动路径的长度． 8．定义：已知点 是三角形边上的一点（顶点除外），若它到三角形一条边的距离等于它到三角形的一个顶点的距离，则我们把点 叫做该三角形的等距点. （1）如图1： 中， ， ， ， 在斜边 上，且点 是 的等距点，试求 的长； （2）如图2， 中， ，点 在边 上， ， 为 中点，且 . ①求证： 的外接圆圆心是 的