2023年中考数学专项突破——垂径定理

2023年中考数学专项突破——垂径定理 一、综合题 1．如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC＝6时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由． 2．如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点. （1）若，求的度数； （2）若，，求的长. 3．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC． （1）求证：AE=ED； （2）若AB=10，∠CBD=36°，求 的长． 4．如图，已知 是 的半径，弦 ， ，垂足为 ，且 . （1）连接 ，求 的正弦值； 5．如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆圆 相交于点 ，过 作直线 . （1）求证： 是圆 的切线； （2）若 ， ，求优弧 的长. 6．如图，已知，⊙O的半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，点P在OC的延长线上，连结AP，AC平分∠PAB． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若sinP= ，AB=16,求⊙O的半径长. 7．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”． （1）（概念理解） 若⊙O的半径为5，一条弦AB =8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为　 　，最小值为　 　． （2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC= 12，DH =7，CH =9，求证︰AB、CD互为“十字弦”； （3）（问题解决） 如图3，在⊙O中，半径为 ，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD， ，则CD的长度　 　． 8．如图1，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B是y轴正半轴上一点，以AB为直径作⊙M，A与C关于y轴对称，直线CM交⊙M于点D，E（点E在左侧），交y轴于点F．设OB＝a． （1）求M的坐标（用a的代数式表示）和AC的长． （2）若E是半圆AB的中点，求点E的坐标． （3）如图2，过点A作AG∥CE交y轴于点G，连结BD并延长交AG延长线于点K． ①试说明△ABK是等腰三角形． ②当点G为AK中点时，求a的值． 9．如图，四边形 内接于 为直径， . 过点 作 于点 交 的延长线于点 ，连接 交 于点 . （1）求证： 是 的切线； （2）若点 为 的中点，求证： （3）若 ，求 的长. 10．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC （1）求证：∠ACO＝∠BCD； （2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的面积.（结果保留π） 11．已知：如图，是⊙O的直径.是⊙O的弦，.E为垂足，.F是延长线上一点，连接交⊙O于G，连接、. （1）求⊙O的半径； （2）求证：； （3）当点G是的中点时，求的面积与的面积比. 12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E是CA延长线上的一点，连接DE交⊙O于点F，连接AF，CF． （1）若∠BAC=20°，求∠AFC的度数． （2）求证：AF平分∠CFE． （3）若AB=5，CD=4，且CF经过圆心O，求CE的长． 13．在平面内，给定不在同一条直线上的点 （如图所示），点 到点 的距离均等于 ( 为常数)，到点 的距离等于 的所有点组成图形 ， 的平分线交图形 于点 ，连接 ． （1）求证：AD=CD； （2）过点 作 ，垂足为 ，作 ，垂足为 ，延长 交图形 于点 ，连接 ．若 ，求直线 与图形 的公共点个数． 14．定义：如果一个三角形中有两个内角 满足 ，那我们称这个三角形为“近直角三角形”. （1）若 是“近直角三角形”， ， ，则 　 　 ； （2）如图1，在 中， ， ， .若 是 的平分线， ①求证： 是“近直角三角形”； ②在边 上是否存在点E（异于点D），使得 也是“近直角三角形”？若存在，请求出 的长；若不存在，请说明理由. （3）如图2，在 中， ，点D为 边上一点，以 为直径的圆交 于点E，连结 交 于点F，若 为“近直角三角形”，且 ， ，求 的长. 15．如图，已知AB是⊙O的直径，