2023年中考数学专项突坡——垂径定理的应用

2023年中考数学专项突坡——垂径定理的应用 一、综合题 1．如图，某地有一座圆弧形拱桥， （1）如图1，请用尺规作出圆弧所在圆的圆心O； （2）如图2，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4m．桥下水面宽度AB为7.2m，现有一艘宽3m、船舱顶部为方形并高出水面2m的货船要经过拱桥，请通过计算说明此货船能否顺利通过这座拱桥. 2．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是 上一点，AG与DC的延长线交于点F． （1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长； （2）求证：∠FGC=∠AGD． 3．中国的拱桥始建于东汉中后期，已有一千八百余年的历史，如图，一座拱桥在水面上方部分是AB，拱桥在水面上的跨度AB为8米，拱桥AB与水面的最大距离为3米. （1）用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O； （2）求拱桥AB所在圆的半径. 4．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC＝120°，点D为BC上一动点（不与B、C重合），E是AD延长线上的一点，且∠BCE=∠BAD. （1）求∠AEC的度数； （2）试说明：在点D运动的过程中，∠AEB的度数是一个定值； （3）若AD=a，DE=b，求ab的最大值. 5．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C. （1）画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹，用水笔描清楚），并连接AD、CD. （2）⊙D的半径为　 　（结果保留根号）； （3）若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是　 　； 6．如图，台风中心位于点A，并沿东北方向AC移动，已知台风移动的速度为50千米/时，受影响区域的半径为130千米，B市位于点A的北偏东75°方向上，距离A点240千米处. （1）说明本次台风会影响B市； （2）求这次台风影响B市的时间. 7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长． 8．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m． （1）求拱桥的半径． （2）有一艘宽为7.8m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由． 9．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，，，，为△ABC的外接圆． （1）的坐标为　 　； （2）设弧AC与线段AB、BC所围成的封闭图形的面积为S（图中阴影部分），嘉琪说，请通过计算判断嘉琪的说法是否符合题意； （3）我们把横纵坐标都是整数的点叫做格点．直线l与相切于点B，直接写出直线l经过的图中格点坐标．（切点除外） 10．如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E. （1）求证：∠BCD=∠CBD； （2）若BE=4，AC=6，求DE的长. 11．如图矩形ABCO，点A，C分别在y轴与x轴的正半轴上，O为坐标原点，B的坐标为（6，4），点D（1，0），点P为边AB上一个动点，过点D，P的圆⊙M与AB相切，⊙M交x轴于点E，连接AM， （1）当P为AB的中点时，求DE的长及⊙M的半径； （2）当AM⊥DP时，求点P的坐标与⊙M的半径； （3）是否存在一点P使⊙M与矩形ABCO的另一条边也相切，若存在求出所有符合条件的点P的坐标． 12．车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行使到和路的边界夹角是45°的位置(如图1中②的位置)，例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过. （1）试说明长8m，宽3m的消防车不能通过该直角转弯； （2）为了能使长8m，宽3m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧(分别是以O为圆心，以OM和ON为半径的弧)，具体方案如图3，其中OM⊥OM′，请你求出ON的最小值. 13．如图，C、D两点在以AB为直径的半圆O上，AD平分∠BAC，AB=20，AD=4 ，DE⊥AB于E． （1）求DE的长． （2）求证：AC=2OE． 14．如图， 为 的直径， 是 上的一点，连接 ， ． 是 的中点，过 作 于点 ，交 于点 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长． 15．如图，平面直角坐标系中，以点M（4，0）为圆心，MO为半径的半圆交x轴于点A，P为半圆上的一个动点，以点P为直角顶点在OP上方作Rt△OPB，且O