专题04 勾股定理之图形折叠模型-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（北师大版）

专题04 勾股定理之图形折叠模型 初中数学中，有关折叠的问题也是相对比较难的问题，主要涉及求角的度数、求线段的 长度、求周长、面积等，其中求线段的长度的问题必然用到勾股定理. 【新方法解读】 图形折叠问题核心实质是轴对称性质，即先找出对称轴，再观察元素不变量与变量，然 后运用所学知识合理、有序、全面解决问题。图形折叠对象主要是三角形、矩形、梯形等， 考查问题涉及点坐标、角度、线段、周长、面积、图形规律、最值、三角函数、比例、解析 式等等，折叠问题中，“折”是过程，“叠”是结果，此题型灵活多变，能考查学生的自主探索 能力与空间想象能力以及推理能力，解决折叠问题，首先要对图形折叠有一定准确定位，把 握折叠实质，从点、线、面三个方面发现图形中的位置关系和数量关系，抓住图形的变量和 不变量，其次探索折叠变化规律，充分挖掘图形隐含的几何性质，运用所学知识合理、有序、 全面解决问题. 折叠性质：①对应线段相等（能够重合的线段）②对应角相等（能够重合的角） 性质记忆：折叠必有角相等、边相等。 处理策略：求什么设什么，找直角三角形，用勾股定理 【典例分析】 【典例1】（秋•高青县期末）如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，若AD＝5，AB＝3，求EF的长度． 【变式1-1】（2022秋•槐荫区校级期末）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 【变式1-2】（荆州）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【变式1-3】（衡阳）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（　　） A．1 B． C． D．2 【夯实基础】 1．（2021春•莆田期中）如图所示，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH的度数恰好为90°，PF＝4，PH＝3，则矩形ABCD的边BC的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．15 2．（2021春•中山市期中）把一张矩形纸片ABCD按如图所示的方式进行折叠，使点B恰好与点D重合，折痕为EF，其中AB＝3，BC＝3．则△DEF的面积是（　　） A．6 B．6 C．3 D．4 3．（2020春•红旗区校级月考）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．已知AB＝4cm，BC＝8cm，则△BEF的面积为（　　） A．12cm2 B．10cm2 C．8.6cm2 D．8cm2 4．（2022春•通城县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 　　． 5．（2022春•夏津县期末）如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则EC的长为　　cm． 6．（2021秋•金牛区校级月考）如图，长方形纸片ABCD，沿折痕AE折叠边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8，S△ABF＝24，则EC的长为　　． 7．（包头）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为　　． 8．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，若AC＝8，BD＝5，则CE的长度是 　 　． 9．（2021秋•景德镇期中）如图，△ABC的三边分别为AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上． （1）试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求折痕AD的长． 10．（2021•福田区校级开学）如图，长方形纸片ABCD中，BC＝，DC＝1，将它沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，则图中阴影部分的面积是多少？ 11．（春•黔南州期末）长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长． 12．（秋•秀峰区校级期末）如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积． 13．如图，在一张长方形ABCD纸张中，一边BC折叠后落在对角线BD上，点E为折痕与边CD的交点，若AB＝5，BC＝12，求图中阴影部分的面积． 14．（2020秋•临漳县期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落