1.4 角平分线 第1课时课件 2022-2023学年北师大版八年级数学下册

第一章 三角形的证明 第4节 角平分线 (第1课时) 导入新课 讲授新课 课堂小结 随堂训练 学 习 目 标 1 要求大家掌握角平分线的性质定理和逆定理,会用这两个定理解决一些简单问题. 2 理解角平分线的性质定理和逆定理的证明. 3 进一步发展大家的推理证明意识和能力. 1 情景导入 1 什么叫角平分线? 如果一条射线把一个角分成两个相等的角,那么这条射线叫角的平分线. 2 还记得角平分线上的点有什么性质吗? 你是怎样得到的? 角平分线上的点到角两边的距离相等. 2 课堂活动 角平分线的性质 知识点一 角平分线上的点到角两边的距离相等。 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E. 求证:PD=PE. C B 1 A 2 P D E O 4 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∵ ∠1 =∠2,OP = OP, ∴△PDO ≌△PEO(AAS). ∴ PD = PE(全等三角形的对应边相等). C B 1 A 2 P D E O 1 定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2 书写格式: 如图,∵OP平分∠AOB,PD⊥ OA于点D, PE⊥OB于点E, ∴PD=PE. 3 定理应用所具备的条件: (1)角的平分线; (2)点在该平分线上; (3)垂直距离. 典例赏析 例1 如图,在△ABC中,∠BAC=60°,点D在BC上,AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求DE的长. B F E D C A ∵DE丄AB, DF丄AC,垂足分分别为E,F,且DE=DF, ∴AD平分∠BAC (在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 又∵∠BAC=60°, ∴∠BAD=30°. 在 Rt△ADE中,∠AED=90°,AD=10, ∴DE= AD= ×10=5 (在直角三角形中,如果一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 角平分线的判定 知识点二 想一想 你能写出这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 如果有一个点到角两边的距离相等,那么这个点必在这个角的平分线上.简写 这个命题是假命题.角平分线是角内部的一条射线,而角的外部也存在到角两边距离相等的点. 到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上 定理 在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 书写格式:如图,∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC=∠BOC) 已知:如图,点 P 为∠AOB 内一点,且 PD⊥OA,PE⊥OB,D、E 为垂足且 PD = PE. 求证:OP平分∠AOB. O A B C 1 2 P D E 证明:∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D,E,  ∴∠ODP=∠OEP=90°, ∵PD=PE,OP=OP, ∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ). ∴∠1=∠2 (全等三角形的对应角相等). ∴OP平分∠AOB. 试一试 典例赏析 例2 如图,已知BE=CF,DF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E,BF和CE相交于点D. 求证:AD平分∠BAC. 证明:∵DF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E, ∴∠DEB=∠DFC=90°. 在△BDE和△CDF中, ∴△BDE≌△CDF(AAS). ∴DE=DF. 又∵DF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E, ∴AD平分∠BAC. 随堂训练 1 如图,OP是∠AOB的平分线,点C,D分别在角的两边OA,OB上,添加下列条件,不能判定△POC≌△POD的选项是( ) A.PC⊥OA,PD⊥OB B.OC=OD C.∠OPC=∠OPD D.PC=PD 2 如图,在CD上求一点P,使它到边OA,OB的距离相等,则点P是( ) A.线段CD的中点 B.CD与过点O作CD的垂线的交点 C.CD与∠AOB的平分线的交点 D.以上均不对 3 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,若AB=6 cm,则△DBE的周长是( ) A.6 B.7 cm C.8 cm D.9 cm 4 如图,在△ABC中,与∠ABC,∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F,连接AF,则下列结论正确的是( ) A.AF平分BC B.AF平分∠BAC C.AF⊥BC D.以上结论都正确 5 如图,△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线, BD = CD, DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E,F. 求证:EB = FC. 课堂小结 1 角平分线的性质定理: 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 2 角平分线的判定定理: 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,