5.1 导数的概念及其意义-【基础过关系列】2022-2023学年高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第二册)

5.1 导数的概念及其意义 1 平均变化率 若某个问题中的函数关系用表示，可用式子表示函数从到的平均变化率. 【例】 函数在区间上的平均速度为． 它与斜率相等. 2 瞬时变化率 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 3导数概念 函数在处的瞬时变化率是 则称它为函数在处的导数，记作，即 【例1】已知的导函数，则(　　) A． B． C． D． 【例2】一质点运动的方程为，则质点在时的瞬时速度是 . 4 导函数 若当变化时，是的函数，则称它为的导函数(简称导数)，记作或，即 【例】 若，求的导函数. 5 导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义是曲线处的切线的斜率，即：曲线在点处的切线的斜率， 切线的方程为． 【例】 求曲线在点处的切线方程. 【题型1】 导数概念的理解 【典题1】 函数的平均变化率分别记为，则下面结论正确的是(　　) A． B． C． D．大小关系不能确定 【典题2】已知的导函数，且，则(　　) A． B． C． D． 【典题3】一物体做直线运动，其位移单位：与时间单位：的关系是，则该物体在时的瞬时速度是(　　) A. B. C. D. 【巩固练习】 1.某物体做自由落体运动的位移，若，则是该物体(　　) A.从到这段时间的平均速度 B.从到这段时间的平均速度 C.在这一时刻的瞬时速度 D.在这一时刻的瞬时速度 2.某物体做自由落体运动的位移，若， 则是该物体(　　) A．从这段时间的平均速度 B．从这段时间的平均速度 C．在这一时刻的瞬时速度 D．在这一时刻的瞬时速度 3.设函数可导，则(　　) A． B． C． D． 4.函数在区间内可导，且，，则(　 ) A． B． C． D．不确定 5.已知自由落体运动的方程为为常数)，求： (1)落体在到这段时间内的平均速度； (2)落体在这一时刻的瞬时速度． 6.在高台跳水运动中, 时运动员的重心相对于水面的高度(单位: )是. 高度关于时间的导数是速度,速度关于时间的导数的物理意义是什么? 试求关于时间的函数解析式. 【题型2】 导数的几何意义 【典题1】 某堆雪在融化过程中，其体积单位：与融化时间单位：近似满足函数关系：为常数)，其图象如图所示，记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为单位：，时刻的瞬时融化速度分别为单位：，那么下列各式正确的是(　　) A. B. C. D. 【典题2】已知曲线上一点，用导数的定义求在点处的切线方程． 【巩固练习】 1.已知函数的图象如图，设是的导函数，则与的大小关系正确的是(　　) A． B． C． D．与的大小关系不确定 2.已知函数的部分图象如图所示，且是的导函数，则(　　) A. B. C. D. 3.已知函数的图象如图，设是的导函数，则(　　) A． B． C． D． 4.若，，在处切线方程为 . 5.求曲线在点处的切线方程. 【A组---基础题】 1.函数在区间上的平均变化率等于(　　) A． B． C． D． 2.已知物体做直线运动对应的函数为，其中表示路程，表示时间．则表示的意义是(　　) A.经过后物体向前走了 B.物体在前秒内的平均速度为 C. 物体在第秒时的瞬时速度为 D. 物体在第秒内向前走了 3.已知函数是可导函数，且，则(　　) A． B． C． D． 4.函数的部分图象如图所示，则(　　) A. B. C. D. 5.吹气球时，记气球的半径与体积之间的函数关系为，为的导函数．已知在上的图像如图所示，若，则下列结论正确的是(　　) A. B. C. D.存在， 使得 6.(多选)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离单位：与时间单位：之间的函数表达式为.下列说法正确的是(　　) A.前内球滚下的垂直距离的增量 B.在时间内球滚下的垂直距离的增