5.2.3 简单复合函数的导数-【基础过关系列】2022-2023学年高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第二册)

5.2.3 简单复合函数的导数 1复合函数 对于两个函数和，若通过变量可以表示成的函数，则称这个函数为函数和的复合函数，记作． 【例】函数可看成由与复合而成的函数； 函数可看成由与复合而成的函数. 2 简单复合函数的导数 复合函数的导数与函数 的导数间的关系是 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积。 【例】若，设，， 则. 3 性质 (1)若函数为可导的偶函数，则为奇函数； (2) 若函数为可导的奇函数，则为偶函数. 证明 (1) 方法1 若为可导的偶函数，则， 两边求导得，所以为奇函数； 方法2 ， 是偶函数， ， ，所以为奇函数. (2) 类似(1)的证明. 【题型1】 复合函数的导数 【典题1】 求下列函数的导数： (1)；(2) ；(3) ． 【巩固练习】 1.函数导数是(　　) A． B． C． D． 2.函数的导数是(　　) A． B． C． D． 3.设，若在处的导数，则的值为(　　) A. B. C. D. 【题型2】 运用 【典题1】 若函数，则是(　　) A. 仅有最小值的奇函数 B. 仅有最大值的偶函数 C. 既有最大值又有最小值的偶函数 D. 非奇非偶函数 【典题2】已知函数与的定义域均为分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是 A. B. C. D. 【巩固练习】 1.一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中(单位: )是小球相对于平衡点的位移，(单位: 为运动时间，则小球在时的瞬时速度为 . 2.1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定末定式值的方法. 如：，按此方法则有 . 3.已知函数满足，则 . 4. (多选)已知函数在上有定义，记为函数的导函数，又是奇函数，则以下判断一定正确的有( ) A.是奇函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 是偶函数 5.(多选)已知函数及其导函数的定义域均为，若均为奇函数，则 A. B. C. D. 【A组---基础题】 1.已知，则(　　) A． B． C． D． 2.定义在上的函数满足其中为的导函数)，则这样的函数个数为(　　) A.0个 B. 个 C. 个 D. 无数个 3.下列直线中，与曲线在点处的切线平行的直线是 ( ) A. B. C. D. 4.已知函数及其导函数的定义域都为 R，且为偶函数，为奇函数，则( ) A. B. C. D. 5.已知函数，则等于 . 6.已知函数 ，则 . 7. 某铁球在时，半径为 1dm. 当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为时铁球的半径为，其中为常数，则在时，铁球体积对温度的瞬时变化率 为 (参考公式: ). 8.若曲线在处的切线方程为 ，则 ， . 9.设函数，其中常数满足，若函数(其中是函数的导数)是偶函数，则等于 . 10.英国数学家泰勒发现了一个恒等式，则 . 【B组---提高题】 1.已知函数，为的导函数，则 . 2. (多选)已知函数 的定义域为 为 的导函数，且，，若为偶函数，则 ( ) A. B. C. D. 【C组---拓展题】 1.(多选)设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是( ) A. B.函数的图象关于对称 C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（北京）股份有限公司13 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.3 简单复合函数的导数 1复合函数 对于两个函数和，若通过变量可以表示成的函数，则称这个函数为函数和的复合函数，记作． 【例】函数可看成由与复合而成的函数； 函数可看成由与复合而成的函