导数专题 二次导数-【基础过关系列】2022-2023学年高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第二册)

导数专题 二次导数 1 二阶导数的概念 如果函数的导数在处可导，则称的导数为函数在处的二阶导数，记为. 【例】若函数，则，. 2二阶导数的意义 二阶导数是一阶导数的导数.从原理上看，它表示一阶导数的变化率；从图形上看，它反映的是函数图像的凹凸性. 若在内，则在内为凹函数；若在内，则在内为凸函数； 【例】，其二次导数，为凹函数； ，其二次导数，为凸函数； 了解函数凹凸性，对于部分题型有助于更快地找到解题思路，特别是在切线放缩. 3 二次求导的运用 ① 二阶导数在高中教材中没有介绍，我们不好直接使用二阶导数性质，甚至它的符号. ② 二次求导除了可以判断函数凹凸性，还有一个重要运用， 使用场景：某些函数一次求导后，解和难度较大或甚至解不出(即很难得到的正负性)，则需要进行”二次求导”. 思考：若能知道的图像(或草图)，其正负性是否更好分析呢？那图如何而来?求导便可画图拉，分析其单调性、极值、最值等，这样一想便有了以下解题步骤； 解题步骤：设，对求导，求出和的解，便可得到的单调性，进而求其最值，不难得到的正负性，由图可知原函数的单调性. 若也很难求解呢？那就要三次求导. 【题型1】 不含参函数 【典题1】若函数，，设，试比较的大小. 【典题2】求函数的单调性. 【巩固练习】 1.求函数的单调性. 2.已知函数. (1) 若，试判断在定义域内的单调性； (2) 若上恒成立，求的取值范围. 【题型2】 含参函数 【典题1】求的单调性. 【巩固练习】 1.求的单调性. 2.求函数在的单调性. 【A组---基础题】 1.求函数的单调区间. 2.求证：当时，。 3.证明当时，。 4.求函数的单调性． 5.已知函数， ，求的取值范围；证明. 6.已知函数. (1) 若，试判断在定义域内的单调性； (2) 若上恒成立，求的取值范围. 【B组---提高题】 1.已知函数，当时，函数的图像恒在的图像上方，求实数的取值范围. 2.已知函数，其中为自然对数的底数. (1)求函数的图像在点处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 【C组---拓展题】 1.已知函数，且， 证明：存在唯一的极大值点，且. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（北京）股份有限公司13 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数专题 二次导数 1 二阶导数的概念 如果函数的导数在处可导，则称的导数为函数在处的二阶导数，记为. 【例】若函数，则，. 2二阶导数的意义 二阶导数是一阶导数的导数.从原理上看，它表示一阶导数的变化率；从图形上看，它反映的是函数图像的凹凸性. 若在内，则在内为凹函数；若在内，则在内为凸函数； 【例】，其二次导数，为凹函数； ，其二次导数，为凸函数； 了解函数凹凸性，对于部分题型有助于更快地找到解题思路，特别是在切线放缩. 3 二次求导的运用 ① 二阶导数在高中教材中没有介绍，我们不好直接使用二阶导数性质，甚至它的符号. ② 二次求导除了可以判断函数凹凸性，还有一个重要运用， 使用场景：某些函数一次求导后，解和难度较大或甚至解不出(即很难得到的正负性)，则需要进行”二次求导”. 思考：若能知道的图像(或草图)，其正负性是否更好分析呢？那图如何而来?求导便可画图拉，分析其单调性、极值、最值等，这样一想便有了以下解题步骤； 解题步骤：设，对求导，求出和的解，便可得到的单调性，进而求其最值，不难得到的正负性，由图可知原函数的单调性. 若也很难求解呢？那就要三次求导. 【题型1】 不含参函数 【典题1】若函数，，设，试比较的大小. 解析 ， ， 设， (要知道原函数的单调性，则分析的正负性，而它不太好分析，可构造函数二次求导，分析其单调性最值得到其函数图像便利于分析其正负性) 则 当时，，即在上递减， ，(此时得到函数的草图，正负性便确定) ，在上递减， 当，，即. 点拨 ① 要研究函数的单调性，则需要分析导函数的正负性； ② 当一次求导后，发现导函数不太“友善”(不能转化为常见的“一次型导数”， “二次型导数”，“指数型导数”或其混合型等)，则可考虑构造新函数进行二次求导. 【典题2】求函数的单调性. 解析 的定义域是， ， 设， (导函数的正负性与一致，不能因式分解，函数较为复杂，要判断它的正负性，若能知道它的图象就好了，便想到二次求导) 则， (此时要分析的正负性，也不容易，则可再次求导分析单调性、最值得到它的图象从而分析正负性) 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 在处有最大值，而，(注意到，的零点) 函数在上是单调递减， 当时，， 递增； 当时，， 递减； (注意到，事情就这么巧，分析出正负性了)