4.5.3 函数模型的应用-【数学一起课件】高中数学必修第一册同步PPT课件（人教A版2019）

第四章 指数函数与对数函数 函数模型的应用 授课老师：XXX 高中数学 · 必修一 学习目标 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 从教材实例中了解指数型函数模型、对数型函数模型在实际问题中的应用. 在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律. 核心素养 【数学抽象】 由实际问题建立函数模型； 【逻辑推理】 通过数据分析，确定合适的函数模型； 【数学运算】 运用函数模型解决实际问题； 【数学建模】 借助函数模型，利用函数的思想解决现实生活中的实际问题. 课程导入 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画. 面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ Part 01 利用已知函数模型解决实际问题 问题探究 例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题. 认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据. 早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型 其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的增长率. 问题探究 （1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万. 根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型. （2）利用（1）中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数. 查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符. （3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？ 问题探究 分析： 需要确定其中的初始量和增长率. 根据题意，我国1950年末的人口总数为55196万，即. 用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，需要确定哪些参数？ 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型，初始量是多少？ 问题探究 经过了9年，即. 解： （1）由题意知，设1950~1959年期间我国人口的年平均增长率为，根据马尔萨斯人口增长模型，有 由计算工具得 因此我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型 分析： 1950年到1959年经过了多少年？ 问题探究 （2）查阅国家统计局网站所得数据： 问题探究 分别取，由可得我国在1951~1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951~1958年各年末的实际人口总数，如下表所示. 年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 计算所得人口总数/万 56417 57665 58940 60243 61576 62938 64330 65753 实际人口总数/万 56300 57482 58796 60266 61465 62828 64563 65994 可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合. 问题探究 也可根据1950~1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数的图象. 也可看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合. Y 值 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 55196 56417 57665 58940 60243 61576 62938 64330 65753 67207 问题探究 问题1 什么叫散点图？ 将样本中的个数据点描在平面直角坐标系中，所得的图形叫做散点图. 画散点图是判断函数模型、数据拟合函数的常用方法. 问题探究 （3）将代入 由计算工具得 所以，如果人口按照（1）中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年（即1990年），我国的人口就已达到13亿. 问题探究 问题2 事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿. 对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？ 因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策. 因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况. 问题探究 例4 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？ 问题探究 分析： 因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数建立数学模型. 应该选择哪种函数模型来刻画题中所描述的变化规律？ 在4.2.1小节的问题2中有提到，当生物死亡后，它机体内