2023年九年级中考数学重难点训练——圆-动点问题

2023年中考数学重难点训练——圆-动点问题 一、综合题 1.古希腊数学家毕达哥拉斯认为:“一切平面图形中最美的是圆”。请研究如下美丽的圆,如图,线段AB是⊙O的直径,延长AB至点C,使BC=OB,点E是线段OB的中点,DE⊥AB交⊙O于点D,点P是⊙O上一动点(不与点A,B重合),连接CD,PE,PC。 (1)求证:CD是⊙O的切线; (2)小明在研究的过程中发现 是一个确定的值,回答这个确定的值是多少?并对小明发现的结论加以证明。 2.一块含有 角的三角板 如图所示,其中 , , .将此三角板在平面内绕顶点 旋转一周. (1)画出边 旋转一周所形成的图形; (2)求出该图形的面积. 3.如图,扇形OAB的半径OA=3,圆心角∠AOB=90°,点C是 上异于A、B的动点,过点C作CD⊥OA于点D,作CE⊥OB于点E,连接DE,点G、H在线段DE上,且DG=GH=HE. (1)求证:四边形OGCH是平行四边形; (2)当点C在 上运动时,在CD、CG、DG中,是否存在长度不变的线段?若存在,请求出该线段的长度; (3)若CD=x,直接写出CD2+3CH2的结果. 4.如图AB为⊙O的直径,C为⊙O上半圆的一个动点,CE⊥AB于点E,∠OCE的角平分线交⊙O于D点. (1)当C点在⊙O上半圆移动时,D点位置会变吗?请说明理由; (2)若⊙O的半径为5,弦AC的长为6,连接AD,求线段AD、CD的长. 5.如图,四边形 中的三个顶点在⊙ 上, 是优弧 上的一个动点(不与点 、 重合). (1)当圆心 在 内部,∠ABO+∠ADO=70°时,求∠BOD的度数; (2)当点A在优弧BD上运动,四边形 为平行四边形时,探究 与 的数量关系. 6.如图.在中,,,点E,F为边AB上的动点,点D是EF的中点,以点D为圆心,DE长为半径在内作半圆D. (1)若,P为半圆D的中点,在半圆D移动的过程中,求CP的最小值. (2)当半圆D同时与的两直角边相切时,请求出EF的长. 7.先阅读材料,再解答问题: 已知点 和直线 ,则点P到直线 的距离d可用公式 计算.例如:求点 到直线 的距离. 解:由直线 可知: . 所以点 到直线 的距离为 . 求: (1)求点P(2,-1)到直线y=x+1的距离. (2)已知直线 与 平行,求这两条平行线之间的距离; (3)如图已知直线 分别交 轴于 两点,☉C是以 为圆心, 为半径的圆, 为☉C上的动点,试求 面积的最大值. 8.如图,已知 , , , ,其内有一个圆心角为 扇形 ,半径 . (1)发现:如图1,当E、F在 边上,扇形 与 相切时, ①优弧 上的点与 的最大距离为 , ,S扇形EOF= ; ②当 时,优弧 上的点与点D的最小距离为 ; (2)思考:如图2,当 时,扇形 在 内自由运动 ①当扇形 与 的两条边同时相切时,求此时两切点之间的距离是多少? ② 与 垂直时,扇形 ▲ (填“有可能”或“不可能”)与 的边切于点F; (3)拓展:如图3,将扇形的圆心O放在 的中点处,点E在线段 上运动,点F在 外,当优弧 与 的边有六个交点时,直接写出r的取值范围: . 9.如图,四边形ABCD是⊙O 的内接四边形,对角线AC,BD交于点E,AB=AC. (1)如图1,若BD是⊙O的直径,求证:∠BAC=2∠ACD; (2)如图2,若BD⊥AC,DE =3,CE=4,求BE的长; (3)如图3,若∠ABC+∠DCB=90°,AD=7,BC=24,求AB的长; (4)在(3)的条件下,保持BC不动,使AD在⊙O上滑动,(滑动中AD长度保持不变)直接写出BD+AC的最大值. 10.如图,在中,,,点O是射线上一点(点O不与,点C重合),M是射上一点,以O为圆心,为半径作半圆O与射线相切于点M,与射线相交于点P、Q. (1)求点B到的距离; (2)若点M是边的中点,点N是半圆O上一点,求的最小值; (3)若半圆O与有公共点,直接写出半圆O长度l的取值范围. 11.在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1,T(0,t)为y轴上一点,P为平面上一点.给出如下定义:若在⊙O上存在一点Q,使得△TQP是等腰直角三角形,且∠TQP=90°,则称点P为⊙O的“等直点”,△TQP为⊙O的“等直三角形”.如图,点A,B,C,D的横、纵坐标都是整数. (1)当t=2时,在点A,B,C,D中,⊙O的“等直点”是 ; (2)当t=3时,若△TQP是⊙O“等直三角形”,且点P,Q都在第一象限,求的值. 12.如图,在 中, ,动点 沿线段 从点 向点 运动,当点 与点 重合时,停止运动,以点 为圆心, 为半径作 ,点 在 上且在 外, . (1)当 时 ,点 到 的最远距离为 ; (2) 与 相切于点 时(如图2),求 的长?并求出此