(教用word)第5章　5.2　5.2.1　第1课时　等差数列的定义-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版2019)

5.2　等差数列 5.2.1　等差数列 第1课时　等差数列的定义 学习任务目标 1．理解等差数列的概念．(数学抽象) 2．掌握等差数列的通项公式．(数学运算) 3．掌握等差数列的判定方法．(逻辑推理) (1)已知函数f (x)＝3x－1，则f (1)＝2，f (2)＝5，f (3)＝8，f (4)＝11． (2)按规律填空： ①2，5，8，11，14，…； ②11，21，31，41，51，61，…． 知识点一　等差数列的概念 文字 语言 如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差 符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋) [微训练] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列． (×) (2)数列0，0，0，0，…不是等差数列． (×) 知识点二　等差数列的通项公式 一般地，如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 知识点三　等差数列的函数特性 (1)an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以，当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f (x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当 x＝n时的函数值，即an＝f (n)． (2)任给一次函数f (x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f (1)＝k＋b，f (2)＝2k＋b，…，f (n)＝nk＋b，…构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为(k＋b)，公差为k． [微训练] 1．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋5，则此数列(　　) A．是公差为2的递增等差数列 B．是公差为2的递减等差数列 C．是首项为7的递减等差数列 D．是首项为7的递增等差数列 AD　解析：因为a1＝7，an－an－1＝2n＋5－(2n＋3)＝2>0，所以{an}是首项为7，公差为2的递增等差数列． 2．在等差数列{an}中，首项a1＝5，公差d＝3，则当an＝2 021时，n等于(　　) A．671　　B．672　　C．673　　D．674 C　解析：因为a1＝5，d＝3，所以an＝5＋(n－1)×3＝3n＋2．令3n＋2＝2 021，得n＝673． 等差数列的概念 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若a－b＝b－c，则a，b，c成等差数列 B．若an－an－1＝n(n∈N*且n>1)，则{an}是等差数列 C．等差数列是相邻两项中的后项与前项之差都等于同一个常数的数列 D．等差数列的公差是该数列中任意两项的差 AC　解析：对于A，由a－b＝b－c，可得a＋c＝2b，因此a，b，c成等差数列，A正确；对于B，n不是固定常数，该数列不是等差数列，B错误；对于C，根据等差数列的定义可知，C正确；对于D，应为相邻两项． 2．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列 C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数) D．数列{2n＋1}是等差数列 BCD　解析：对于选项A，由等差数列定义，所给数列是公差为－2的等差数列，故A错误； 对于选项B，由等差数列定义，所给数列是公差为－1的等差数列，故B正确；对于选项C，由an＝kn＋b，得an＋1－an＝k(n＋1)＋b－(kn＋b)＝k(k为常数)，故数列{an}是等差数列，所以C正确；对于选项D，设an＝2n＋1，则an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，故数列{2n＋1}是等差数列，故D正确． 3．若数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝________． 0　解析：因为{an}是等差数列，所以an＋1－an为常数，所以[a(n＋1)2＋(n＋1)]－(an2＋n)＝2an＋a＋1为常数，所以2a＝0，所以a＝0． 等差数列的通项公式 我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，以冬至的晷长为首项，夏至的晷长为最后一项按图中顺时针方向，由每个节气的晷长构成的数列为{an}． 探究1：数列{an}是等差数列吗？ 提示：因为相邻两个节气晷长减少的量相同，所以数列{an}是等差数列． 探究2：相邻两个节气晷长减少的量是多少？ 提示：由题意知，等差数列{an}，公差为d，则a1＝135，a13＝15，解