第6章：空间向量与立体几何 重点题型复习-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)

第6章：空间向量与立体几何重点题型复习 题型一 空间向量的共线问题 【例1】若向量与不共线且，，，则（ ） A．，，共线 B．与共线 C．与共线 D．，，共面 【变式1-1】如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【变式1-2】已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值为________. 【变式1-3】如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3. 求证：B，G，N三点共线． 题型二 空间向量的数量积问题 【例2】如图，三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为（ ） A． B．1 C． D． 【变式2-1】已知、都是空间向量，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】四棱柱的底面是边长为1的菱形，侧棱长为2，且，则线段的长度是（ ） A． B． C．3 D． 【变式2-3】如图，在大小为60°的二面角中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是______． 题型三 空间向量的共面问题 【例3】（多选）给出下列四个命题，其中是真命题的有（ ） A．若存在实数，，使，则与，共面； B．若与，共面，则存在实数，，使； C．若存在实数，，使则点，，A，共面； D．若点，，A，共面，则存在实数，，使． 【变式3-1】（多选）在正方体中，设，，，构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3-2】已知O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且，则m的值为（ ） A． B．2 C． D． 【变式3-3】，若三向量共面，则实数（ ） A．3 B．2 C．15 D．5 【变式3-4】如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面． 题型四 空间向量的基本定理 【例4】下列命题中正确的个数为（ ） ①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； ②若向量，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底； ③为空间一组基底，若，则； ④对于任意非零空间向量，，若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】已知是空间向量的一个基底，则下列向量中能与，构成基底的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则等于（ ） A． B． C．- D． 题型五 利用空间向量证明平行与垂直 【例5】已知四棱锥中，底面为正方形，平面，，，、分别为、的中点.求证：； 【变式5-1】在如图所示的五面体中，面是边长为的正方形，面，，且，为的中点，为中点.求证：平面. 【变式5-2】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点， 求证：（1）FC1∥平面ADE；（2）平面ADE∥平面B1C1F. 【变式5-3】如图所示，在直二面角中，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 题型六 利用空间向量计算空间角 【例6】在正方体中，直线与AC所成角的余弦值为______． 【变式6-1】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，且，若，，则二面角A-PB-C的余弦值为______． 【变式6-2】如图，正四面体中，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，已知AB为圆锥SO底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，BE平分，D是SC上一点，且平面平面SAB． （1）求证：； （2）求平面EBD与平面BDC所成角的余弦值． 题型七 利用空间向量计算空间距离 【例7】长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在四棱锥中，，底面为