9.5 多项式的因式分解-2022-2023学年七年级数学下册同步培优讲练综合【知识+题型+提升训练】（苏科版）

9.5 多项式的因式分解 同步培优讲练综合 一、概念 【知识点1】公因式的概念 多项式各项都含有因式，像这样的因式称为多项式各项的公因式． 【知识点2】因式分解的概念 把一个多项式写成几个整式的乘积的形式，叫做多项式的因式分解． 二、因式分解的基本方法 【知识点3】提公因式法 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 【知识点4】公式法 运用平方差公式、完全平方公式，把一个多项式分解因式的方法叫做公式法． 交换乘法公式左、右两边，就可得因式分解公式． 【知识点5】十字相乘法 十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项． 【知识点6】分组分解法 分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式． 【知识点7】因式分解的一般步骤 注意点： ①第一步一定要先提公因式，再用公式法、十字相乘法； ②一定要分解到不能再分解为止； ③最后结果一定是乘积的形式． 一、因式分解的基本概念 【例1】下列从左到右的变形中是因式分解的有（ ） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】下列各组多项式中，没有公因式的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例3】已知有一个因式为，则另一个因式为（ ） A． B． C． D． 2、 提公因式法 【例1】因式分解： （1） （2） （3） 【例2】多项式中公因式是______． 【例3】找出下列多项式各项的公因式． （1） （2） （3） 【例4】用提公因式法分解因式正确的是（ ） A． B． C． D． 三、公式法 【例1】用公式法分解因式： 【例2】若可以用完全平方式来分解因式，则的值为______． 【例3】多项式①，②，③，④，⑤，⑥中，能在有理数范围内用平方差公式分解的有______． 四、十字相乘法和分组分解法 【例1】用十字相乘法法分解因式： 【例2】因式分解 【例3】用分组分解法分解因式： 【例4】因式分解： 【例5】阅读下列文字与例题 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（1） （2） 试用上述方法分解因式． （1） （2） （3） 5、 因式分解综合练习 【例1】因式分解 【例2】因式分解 （1） （2） （3） 6、 因式分解的综合应用 【例1】若为任意整数，的值总可以被整除，则的值为（ ） A．11 B．22 C．11的倍数 D．11或22 【例2】试说明能被15整除． 【例3】已知能被30至40之间的两个整数整除，这两个整数是多少？ 【例4】已知，，是三角形三边长，且，试判断三角形形状． 【例5】已知是，，三角形的三边，那么代数式的值（ ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【例6】△ABC三边，，满足，试判断△ABC的形状． 【例7】试说明能被15整除． 【例8】试说明两个连续正偶数的平方差一定能被4整除，但不能被8整除． 【例9】若为任意整数，的值总可以被整除，则的值为（ ） A．11 B．22 C．11的倍数 D．11或22 【例10】已知，，，求代数式 的值． 【例11】已知，，求代数式的值． 【例12】求的值． 【例13】拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：． （1）则图③可以解释为等式：______． （2）在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为，并通过拼图对多项式因式分解：______．（拼图图形画在方框内） （3）如图④，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个长方形的两边长（），结合图案，指出以下关系式①，②，③，④；其中正确的关系式的个数有______． 1、下列从左到右的变形中是因式分解的有（ ） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、若可以分解为，则______，______． 3、下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 4、下列各式从左往右的变形中，是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 5、若，则______，______． 6、已知，，那么的值为（ ） A．3 B．6 C． D． 7、若多项式可因式分解为，其中a、b、c均为整数，则的值是（ B ） A．1 B．7 C．11 D