上海市2022-2023学年高三下学期开学摸底考试数学试卷

2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷 数学 一、填空题（共12小题） 1. 已知集合，，则___________. 2. 已知函数 （，且）．若反函数的图像经过点，则_____________． 3. 若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝_____． 4. 某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于___________．（用数字作答） 5. 已知复数满足为虚数单位，则的模为__________. 6. 等比数列中，若，，则_____． 7. 在二项展开式中，项的系数为___________(结果用数值表示). 8. 若，则的值等于___________(用表示). 9. 函数在内单调递增，则实数的取值范围是__________. 10. 设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有___________个元素. 11. 设为正数列的前项和，，，对任意的，均有，则的取值为__________. 12. 已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______. 二、选择题（共4小题） 13. 已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示． 年薪（万元） 135 95 80 70 60 52 40 31 人数 1 1 2 1 3 4 1 12 该公司雇员年薪的标准差约为（ ） A. 24.5（万元） B. 25.5（万元） C. 26.5（万元） D. 27.5（万元） 15. 已知点是直线（是参数）和圆（是参数）的公共点，过点作圆的切线，则切线 的方程是（ ） A B. C. D. 16. 已知数列满足，.给出以下两个命题：命题对任意，都有；命题存在，使得对任意，都有.则（ ） A. p真，q真 B. p真，q假 C. p假，q真 D. p假，q假 三、解答题（共5小题） 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝AP＝2，BC＝1，且Q为线段BP的中点． （1）求直线CQ与PD所成角的大小； （2）求直线CQ到平面ADQ所成角的大小． 18. 2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本） （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润. 19. 在平面直角坐标系中，已知双曲线（、为正数）的右顶点为，右焦点到渐近线的距离为，直线与双曲线交于、两点，且、均不是双曲线的顶点，为的中点． （1）求双曲线的方程； （2）当直线与直线的斜率均存在时，设斜率分别为、，求的值； （3）若，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标：否则，说明理由． 20. 已知在每一项均不为0的数列中，，且（、为常数，），记数列的前项和为. （1）当时，求； （2）当、时， ①求证：数列为等比数列； ②是否存在正整数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由. 21. 设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为． （1）若，试问是否为控制函数”； （2）若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值； （3）若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，． 2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷 数学 一、填空题（共12小题） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】； 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】160 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】