4　课时分层训练(三)　等差数列的定义-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版2019)

课时分层训练(三)　等差数列的定义 1．下面数列中，是等差数列的有(　　) ①4，5，6，7，8，…；②3，0，－3，0，－6，…； ③0，0，0，0，…；④，，，，…． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C　解析：①是首项为4，公差为1的等差数列；③是首项为0，公差为0的等差数列；④是首项为，公差为的等差数列；对于②，因为0－(－3)≠0－3，故②不是等差数列． 2．2 020是数列2，4，6，8，…的(　　) A．第1 008项 B．第1 009项 C．第1 010项 D．第2 020项 C　解析：数列2，4，6，8，…为等差数列， 设等差数列为{an}，由等差数列2，4，6，8，…可知其首项为2，公差为2，通项公式为an＝2＋(n－1)×2＝2n．令2n＝2 020，得n＝1 010．故选C． 3．在等差数列{an}中，已知a1＝，a4＋a5＝，ak＝33，则k＝(　　) A．50 B．49 C．48 D．47 A　解析：因为a4＋a5＝2a1＋7d＝＋7d＝，所以d＝． 所以ak＝a1＋(k－1)d＝＋(k－1)×＝k－＝33．所以k＝50． 4．在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2．若在相邻两项之间各插入一个数，使新数列仍成等差数列，则新数列的公差为(　　) A． B．－ C．－ D．－1 B　解析：新数列中，首项为8，第9项为2． 所以新数列的公差d′＝＝＝－． 5．若数列{an}满足an＋1－an＝－3(n≥1)，a1＝7，则a3的值是(C) A．－3　　B．4　　C．1　　D．6 6．在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝2(n＋1)2 B．an＝4(n＋1) C．an＝8n2 D．an＝4n(n＋1) A　解析：因为＝＋，所以－＝，所以数列{}是等差数列．由等差数列通项公式得＝2＋(n－1)×＝n＋，所以an＝2(n＋1)2．故选A． 7．(多选)若{an}为等差数列，则下列数列仍为等差数列的有(　　) A．{|an|} B．{an＋1－an} C．{pan＋q}(p，q为常数) D．{2an＋n} BCD　解析：当数列{an}为等差数列时，数列{|an|}不一定是等差数列，数列{an＋1－an}，{pan＋q}，{2an＋n}均为等差数列． 1．已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且 a1＋b1＝1，a2＋b2＝3，则a2 021＋b2 021＝(　　) A．4 045 B．4 043 C．4 041 D．4 039 C　解析：数列{an＋bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a2 021＋b2 021＝1＋2 020×2＝4 041．故选C． 2．若等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为(　　) A．a8　　B．a9　　C．a10　　D．a11 B　解析：an＝a1＋(n－1)d＝70＋(n－1)×(－9)＝79－9n， 所以a8＝7，a9＝－2，a10＝－11，a11＝－20，故绝对值最小的一项为a9． 3．在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝，则an＝(　　) A． B． C．n＋1 D． B　解析：因为an＋1＝，所以＝，即－＝， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以＝，所以an＝．故选B． 4．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为(　　) A．15 B． C．15 D．30 C　解析：由△ABC三边长构成公差为4的等差数列，可设三边长分别为a，a＋4，a＋8(a＞0)． 所以a＋8所对的角为120°． 所以cos 120°＝＝－． 整理得a2－2a－24＝0，即(a－6)(a＋4)＝0． 解得a＝6或a＝－4(舍去)． 所以三角形三边长分别为6，10，14， 则S△ABC＝×6×10×sin 120°＝15．故选C． 5．已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，－＝1(n≥2，n∈N*)，则a1 024＝(　　) A． B． C． D． D　解析：因为数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，－＝1(n≥2，n∈N*)， 所以数列是等差数列，公差为1，首项为1． 所以＝1＋(n－1)＝n，解得an＝． 所以a1 024＝＝．故选D． 6．已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a1＝________，a5＝________． 47　15　解析：由题意知 即 解得 所以a5＝a1＋4d＝47－32＝15． 7．若a，x1，x2，x3，b与a，y1，y2，y3，y4，y5，b均为等差数列，则＝________． 　解析：设两等差数列的公差分别为d1，d2， 则有b－a＝4d1＝6d2，所以d1＝d2