6.2.3-6.2.4 组合与组合数（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.3-6.2.4 组合与组合数 第6章 计数原理 教师 xxx 人教A版（2019） 选择性必修第三册 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 解析：从三名学生中选出两名学生，然后将选出的两名学生按照一定的顺序（上午和下午）进行排列，共有 种方法. 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 甲乙、甲丙、乙丙 问题引入 上面两个问题有什么区别？ 答：（1）第一个问题是从已知的3个不同元素中每次取出2个元素 ,按照一定的顺序排成一列。不仅要选出2个元素，而且要对所选出的元素进行按照一定的顺序排列。 （2）第二个问题是从已知的3个不同元素中取出2个元素 ,不需要按照一定的顺序排列. 问题引入 一、组合 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 要点归纳： (1)组合的特点:组合要求n个元素是不同的,取出的m个元素也是不同的,即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出. (2)组合的特性:元素的无序性.取出的m个元素不讲究顺序,即元素没有位置的要求. 探究新知 相同点：两者都是从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素. 思考：排列与组合有什么异同点？ 不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的； 两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的. 排列与顺序有关 组合与顺序无关 探究新知 校门口停放着9辆共享单车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，则 思考：下列问题是排列问题还是组合问题？ （1）从中选择3辆，有多少种不同的方法？ （2）从中选择3辆给3位同学，有多少种不同的方法？ 组合问题 排列问题 探究新知 例1 平面内有A，B，C，D共4个点. （1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？ 解：一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为： （2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？ 解：由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有：AB、AC、AD、BC、BD、CD六条. 典型例题 例2 五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的选取方案共有多少种？ 解：从5类元素中任选2类元素， 它们相生的选取有：火土，土金，金水，水木，木火，共5种. 典型例题 从 a , b , c 三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是: ab , ac , bc 已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的所有组合. ab , ac , ad , bc , bd , cd 3种 6种 上面两个问题中，通过一一列举得到符合要求的组合的个数，但是随着元素个数的增加，一一列举变得越来越复杂甚至变得不可能。那么能否像排列数一样，找到一个用来计算组合个数的公式，根据公式方便的计算出组合的个数？ 探究新知 二、组合数 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示. 问：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 组合与组合数有什么区别？ 组合是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组”，它不是一个数； 组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数”，它是一个正整数. 答： 探究新知 （1）通过导入一：从 a , b , c 三个不同的元素中取出两个元素的组合数为 组合数 与排列数 之间有什么关系？怎么利用排列数来求组合数？ （2）从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合数为 abc ， abd ， acd ， bcd . 分析：从4个元素中取出3个的排列数为 ，以”相同元素“为标准，将这24个排列分组，一共有4组，因此 探究新知 组合 排列 abc abd acd bcd abc bac cab acb bca cba abd bad dab adb bda dba acd