第1讲 中心弦与中点弦 讲义-2023届高考数学二轮复习解析几何常考问题

第3讲 中心弦与中点弦 强化训练 1.已知椭圆,点为其长轴的6等分点,分别过这五点作斜率为的一组平行线,交椭圆于点,则直线,这10条直线的斜率的乘积为（ ） A. B. C. D. 2.曲线的顶点为为双曲线右支上一点,直线交曲线的一条渐近线于点.若的斜率分别为,且,则双曲线的离心率为（ ） 3.已知是椭圆上的两点,线段的中点在直线上,则直线与轴的交点的纵坐标取值范围是（ ） 4.过点的两条直线分别与双曲线相交于点和点,满足且.若直线的斜率,则双曲线的离心率是（ ） A. B. C.2 D. 5.如图,过原点的直线交椭圆于两点,过点分别作轴、的垂线交椭圆于点,连结交于点.若,则椭圆的离心率是（ ） 6.已知椭圆的右焦点为,上顶点为,直线与椭圆交于两点,且的重心恰为点,则直线的斜率为（ ） 7.已知椭圆上的三点,斜率为负数的直线与轴交于点.若原点是的重心，且与的面积之比为,试求直线的斜率. 8.如图,已知椭圆,过原点的直线与椭圆交于两点(点在第一象限),过点作轴的垂线,垂足为.设直线与椭圆的另一交点为,连结得到直线,交轴于点,交轴于点. (1)若,求直线的斜率; (2)分别记的面积为,求的最大值. 9.已知为椭圆的左、右顶点,为椭圆的上顶点,为直线上的动点,与椭圆的另一个交点为与椭圆的另一个交点为. (1)求椭圆的方程; (2)证明直线过定点. 10.如图,是椭圆的左、右焦点,是椭圆上的两个动点,且线段的中点在直线上. (1)若点的坐标为,求点的坐标; (2)求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 中心弦与中点弦 典型例题 【例1】已知椭圆,点为其长轴的6等分点,分别过这五点作斜率为的一组平行线,交椭圆于点,则直线,这10条直线的斜率的乘积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图,由椭圆对称性知,,所以 它们的斜率两两相等,由椭圆中心弦性质 ,所求的10条直 线的斜率乘积为 【例2】曲线的顶点为为双曲线右支上一点,直线交曲线的一条渐近线于点.若的斜率分别为,且,则双曲线的离心率为（ ） 【答案】 【解析】由于是双曲线的中心弦,所以,所以,所以. 【例3】已知是椭圆上的两点,线段的中点在直线上,则直线与轴的交点的纵坐标取值范围是（ ） 【答案】 【解析】解法记的中点为. 由点差法得,所以. 所以的方程. 令,所以. 又中点在椭圆的内部,故有,所以. 所以. 解法2由题意知的斜率存在,设直线方程为. 由线段的中点在直线上, 所以. 【例4】过点的两条直线分别与双曲线相交于点和点,满足且.若直线的斜率,则双曲线的离心率是（ ） A. B. C.2 D. 【答案】D 【解析】1由且1),得.由双曲线的平行弦性质得, 所以,所以. 【解析】2设点,. 因为, 所以 则, 两式相减得(2) 又， 两式相减得. 将(1)式代人得 (3) 由(2)(3)两式得. 【例5】如图,过原点的直线交椭圆于两点,过点分别作轴、的垂线交椭圆于点,连结交于点.若,则椭圆的离心率是（ ） 【答案】 【解析】设点,则点,. ,则. 再由三点共线,则. 故, 即. 又由中心弦的性质知,.所以,故椭圆的离心率是. 【例6】已知椭圆的右焦点为,上顶点为,直线与椭圆交于两点,且的重心恰为点,则直线的斜率为（ ） 【答案】. 【解析】解法1：易知点,延长交于点,故为的中点.. 所以点, 由椭圆中的中点弦性质知,, 所以. 解法2：点.设直线. 得. 又 解得. 【例7】已知椭圆上的三点,斜率为负数的直线与轴交于点.若原点是的重心，且与的面积之比为,试求直线的斜率. 【答案】 【解析】如图,延长交于点,则为的中点. 由于与的面积之比为, 所以. 因为,所以. 设点,则点. 由得点,所以,即 由中点弦性质知,,所以. 【例8】如图,已知椭圆,过原点的直线与椭圆交于两点(点在第一象限),过点作轴的垂线,垂足为.设直线与椭圆的另一交点为,连结得到直线,交轴于点,交轴于点. (1)若,求直线的斜率; (2)分别记的面积为,求的最大值. 【答案】;2. 【解析】(1)方法1点,,所以直线的方程为. 则,解得, 因此,直线的斜率为. 方法2设点,. 由中心弦性质得. 又因为点,所以点. 所以,于是. (2)由题意得点,,则. 又 因为, 所以, 所以. 故直线的方程为.令,得点. 令,得点. 所以. 又因为, 所以. 所以,当且仅当 时取得等号,所以的最大值为. 【例9】已知为椭圆的左、右顶点,为椭圆的上顶点,为直线上的动点,与椭圆的另一个交点为与椭圆的另一个交点为. (1)求椭圆的方程; (2)证明直线过定点. 【