专题03 平面向量的应用-2022-2023学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题03 平面向量的应用 知识点一 平面几何中的向量方法 (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义． (2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：　a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)　． (3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件： a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)． (4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． (5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 【点拨】(1)要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使成立，且AB与CD无公共点． (2)要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使． (3)要求一个角，如∠ABC，只要求向量的夹角即可． 知识点二 向量在物理中的应用 (1)力向量 力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力． (2)速度向量 速度向量是具有大小和方向的向量，因而可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度． 知识点三 余弦定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 余弦定理：在中，有， b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 推论：，， 【点拨】 余弦定理和勾股定理： 在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广． 设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则 a2＋b2<c2⇔△ABC是钝角三角形，且角C为钝角； a2＋b2＝c2⇔△ABC是直角三角形，且角C为直角_； a2＋b2>c2⇔△ABC是锐角三角形，且角C为锐角 知识点四 正弦定理 1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，，则有 (为的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①，，； ②，，； ③； 3、三角形面积公式：． 【点拨】 已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示． (ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下： (ⅱ)A为锐角时，解的情况如下： 知识点五 测距、测角中的常用术语 1.方位角：正北方向顺时针转到目标方向线所成的角叫方位角． 2.方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角.实际应用中常用北偏东(西)若干度，南偏东(西)若干度来表述． 3.仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角，如图所示． 4.视角 观察物体的两端视线张开的角度，叫做视角． 5.坡角、坡比 (1)坡角：坡面与水平面的夹角．如下图中的角α． (2)坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比．如上图中的． 考点01 向量在平面几何中的应用 【典例1】（2023·高一课时练习）已知，，，判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形．若是，请指出哪个角是直角． 【典例2】（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形． 【总结提升】 1.应用数形结合思想，借助平面直角坐标系将平面几何问题转化为向量（代数）问题解决，是解决平面几何问题的一种重要方法． 2.建立平面直角坐标系的原则，应尽量多的使图形顶点及边落在原点或坐标轴上． 考点02 向量在物理中的应用 【典例3】（2023·高一课时练习）已知质点O受到三个力，，的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都是，求合力的大小和方向. 【总结提升】 1.求几个力的合力，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解． 2．如果一个物体在力G的作用下产生位移为s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosθ，其中θ是F与s的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积． 考点03 已知三角形的三条边，解三角形 【典例4】（2022春·福建泉州·高一校考阶段练习）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例5】（2023·高一课时练习）若一个三角形的三边长分别为，，，则此三角形的最大内角为（    ）． A． B． C． D． 【总结提升】 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一