考点15 等差数列8种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高二数学题型归纳与解题策略(人教A版2019选择性必修第二册)

考点15 等差数列8种常见考法归类 1.解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题. (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． (3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用． (4)特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便. 2.等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，； （2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)； （4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列 （5）若数列是等差数列,则仍为等差数列． （6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 3.等差数列的判定与证明方法 方法 解读 适合题型 定义法 对于数列，若(常数)⇔{an}是等差数列 解答题 中的证 明问题 等差中项法 对于数列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)（）成立⇔{an}是等差数列 通项公式法 (为常数,)⇔{an}是等差数列 选择、 填空题 中的判 断问题 前n项和公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，Sn为数列{an}的前n项和)⇔{an}是等差数列 是等差数列⇔是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件. 4.等差数列前n项和的性质 （1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列，公差为n2d； （2）设数列是等差数列，且公差为， （Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②. （3） 等差数列中，,则,. 注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n) （4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则. （5）若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的； 5.求等差数列前n项和最值的常用方法 （1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值. （2）利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）； （3）数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可. （4）在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 考点一 利用定义及前n项和求等差数列的通项公式 （1） 利用定义求通项 1．（2022·全国·高三专题练习）若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·安徽合肥·高三校考开学考试）数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高二呼和浩特市第六中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022秋·山东菏泽·高二菏泽一中校考阶段练习）已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则=（    ） A．80 B．100 C．120 D．143 6．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）记首项为1的数列的前n项和为，且时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2022秋·河南郑州·高二统考期末）设正数数列的前项和为，数列的前项积为，且，则（    ） A． B． C． D． （2） 利用前n项和求通项 8．（2022秋·天津宝坻·高二校考期末）设为数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2022秋·广东江门·高二统考期末）已知