6.3.3&6.3.4 空间角的计算、空间距离的计算-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)

6.3.3&6.3.4 空间角的计算、空间距离的计算 一、异面直线所成角 若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. 二、直线与平面所成角 1、夹角定义：设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为.则. 2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤： （1）建立适当的空间直角坐标系， （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标， （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角。 3、求两条异面直线所成角的两个关注点 （1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角。 （2）范围：异面直线所成角的范围是（0，），故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值。 三、平面与平面的夹角 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则. 四、点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． 五、点到平面的距离 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为（如图）. 注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 题型一 坐标法求异面直线所成角 【例1】已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图所示，已知等腰直角三角形ADE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，且，F是线段CD的中点，则BD与EF所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）.如图，在鳖臑中，平面，，分别为，的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D．0 【变式1-3】如图，在圆锥中，，点C在圆O上，当直线与所成角为60°时，直线与所成角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 题型二 坐标法求直线与平面所成角 【例2】如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，则直线与平面BDE所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在直三棱柱中，，AC⊥BC，点D是AB的中点，则直线和平面所成角的正切值为( ) A． B． C． D． 【变式2-2】如图所示，在三棱锥P-ABC中，ABBC，AB=BC=PA=1，点O是AC的中点，OP底面ABC，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且，，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 题型三 坐标法求平面与平面所成角 【例3】如图所示，已知点为菱形外一点，且平面，，点为的中点，则二面角的正切值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点，分别为，的中点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，已知三棱锥的底面是正三角形，侧面是菱形，且，是的中点，，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点是棱的中点． （1）证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值． 题型四 坐标法求点到直线的距离 【例4】已知，则到直线的距离为（ ） A． B． C．1 D． 【变式4-1】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D．6 【变式4-2】如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（ ） A．