5.3.2函数的极值与最大（小）值课件（第三课时）-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第三课时） 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 学习目标 1.巩固“利用导数求函数的最值的方法”； 2. 解决 函数的最值的应用问题. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 一 新课引入 函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值与最小值． 求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤是什么？ 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 二 讲授 新课 例1: 给定. （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图像； （3）求出方程= ()的解的个数. 解：（1）函数的定义域为 因为f '(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'=ex+(x+1)ex =(x+2)ex 令f '(x) =0,解得： 、的变化情况如表所示： （2）令=0，解得： 当时， 0;当时， 0. 所以的图像经过特殊点( 当时，与一次函数相比，指数函数 呈爆炸性增长，从而 当时， , 根据以上信息，我们画出的大致图像 如图所示： （3）方程=()的解的个数为函数 的图像与直线的交点个数。 由(1)及图可得，当时，有最小值 所以，方程= 的解得个数有如下结论： 当< 时，解为0个 当 或时，解为1个 当<0时，解为2个 例2.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分,其 (单位：cm)中是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料制造商可获得0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm. (1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小? 解：由题意可知，每瓶饮料的利润是 = 所以,令0,解得=2. 当时，<0;当时，0. 因此，当半径>2时，0,单调递增，即半径越大，利润越高；当半径2时，<0, 单调递减，即半径越大，利润越低。 （1）半径为6cm时，利润最大 （2）半径2cm时，利润最小，这时<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润时负值，如图所示： 跟踪练习： 设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a>0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直,导函数f′(x)的最小值为－12. (1)求a，b，c的值； (2)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值 . 三 课堂练习 答案 1 A 2 B 3 C 四 小结 优化问题→用函数表示数学问题 ↓ ↓ 问题答案←用导数解决数学问题 四　　作业 课本P98 7,8 [解析]　(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0. ∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，又∵a>0，∴b＝－12. 又直线x－6y－7＝0的斜率为eq \f(1,6)，因此f′(1)＝3a＋b＝－6，解得a＝2， 故a＝2，b＝－12，c＝0. (2)f(x)＝2x3－12x， f′(x)＝6x2－12＝6(x＋eq \r(2))(x－eq \r(2))． 令f′(x)＝0，得x＝－eq \r(2)或x＝eq \r(2). 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (-∞，-eq \r(2)) -eq \r(2) (－eq \r(2)，eq \r(2)) eq \r(2) (eq \r(2)，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大 极小 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－eq \r(2))，(eq \r(2)，＋∞)． 因为f(－1)＝10，f(3)＝18，f(eq \r(2))＝－8eq \r(2)； 所以当x＝eq \r(2)时，f(x)取得最小值为－8eq \r(2). 当x＝3时，f(x)取得最大值为18. $