2023年九年级中考数学高频考点突破--圆的切线的证明

2023年中考数学高频考点突破--圆的切线的证明 1．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP. （1）求证：直线CP是⊙O的切线； （2）若BC=2 ，sin∠BCP= ，求⊙O的半径及△ACP的周长. 2．如图，A是以BC为直径的⊙O上的一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，点F是EB的中点，连结CF交AD于点G （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）求证：AG=GD； （3）若FB=FG，且⊙O的半径长为3 ，求BD． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF. （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF＝ ，求BC长. 4．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H. （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值； （3）在（2）的条件下，求的值. 5．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE． （1）求证：DE是半圆⊙O的切线． （2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长． 6．阅读资料： 如图1，在平面之间坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B两点间的距离为AB=． 我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2，当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2． （1）问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为　 　 （2）综合应用： 如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使tan∠POA=，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB． ①证明AB是⊙P的切点； ②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙O的方程；若不存在，说明理由. 7．△OAB是⊙O的内接三角形，∠AOB=120°，过O作OE⊥AB于点E，交⊙O于点C，延长OB至点D，使OB=BD，连CD． （1）求证： CD是⊙O切线； （2）若F为OE上一点，BF的延长线交⊙O于G，连OG， ，CD=6 ，求S△GOB． 8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE． （1）求证：DB=DE； （2）求证：直线CF为⊙O的切线． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且AD=BD，点O是AB边上一点，以O为圆心作⊙O且经过A，D两点，交AB于点E． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求∠B的度数． 10．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G． （1）求证：点E是 的中点； （2）求证：CD是⊙O的切线； （3）若AD=12，⊙O的半径为10，求弦DF的长． 11．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F. （1）求证：DE是⊙O的切线. （2）若DE+EA=4，⊙O的半径为5，求CF的长度. 12．如图， 是 的直径，点C、G为圆上的两点，当点C是弧 的中点时， 垂直直线 ，垂足为D，直线 与 的延长线相交于点P，弦 平分 ，交 于点F，连接 . （1）求证： 与 相切； （2）求证： ； （3）若 ， ，求线段 的长. 13．如图，已知AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的直线EF与AB的延长线交与点F，AC⊥EF，垂足为C，AE平分∠FAC． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）∠F=30°时，求 的值？ 14．如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分 ， ，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E． （1）求证：直线CD是⊙O的切线． （2）求